Analysis Beispiele

$3 y^{2} - 36 y = - 69$

Schritt 1

Addiere $69$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} - 36 y + 69 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{2} - 36 y + 69$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{2}$ heraus.

$3 (y^{2}) - 36 y + 69 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 36 y$ heraus.

$3 (y^{2}) + 3 (- 12 y) + 69 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $3$ aus $69$ heraus.

$3 y^{2} + 3 (- 12 y) + 3 \cdot 23 = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{2} + 3 (- 12 y)$ heraus.

$3 (y^{2} - 12 y) + 3 \cdot 23 = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (y^{2} - 12 y) + 3 \cdot 23$ heraus.

$3 (y^{2} - 12 y + 23) = 0$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $3 (y^{2} - 12 y + 23) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (y^{2} - 12 y + 23) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (y^{2} - 12 y + 23)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (y^{2} - 12 y + 23)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $y^{2} - 12 y + 23$ durch $1$ .

$y^{2} - 12 y + 23 = \frac{0}{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$y^{2} - 12 y + 23 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 12$ und $c = 23$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 23)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 23$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $23$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 92}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $92$ von $144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $52$ als $2^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $52$ heraus.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{12 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$ .

$y = 6 \pm \sqrt{13}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 6 + \sqrt{13}, 6 - \sqrt{13}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = 6 + \sqrt{13}, 6 - \sqrt{13}$

Dezimalform:

$y = 9.60555127 \dots, 2.39444872 \dots$