Analysis Beispiele

$16 x^{2} + 25 y^{2} = 400$

Schritt 1

Subtrahiere $16 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 y^{2} = 400 - 16 x^{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $25 y^{2} = 400 - 16 x^{2}$ durch $25$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $25 y^{2} = 400 - 16 x^{2}$ durch $25$ .

$\frac{25 y^{2}}{25} = \frac{400}{25} + \frac{- 16 x^{2}}{25}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 y^{2}}{25} = \frac{400}{25} + \frac{- 16 x^{2}}{25}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{400}{25} + \frac{- 16 x^{2}}{25}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Dividiere $400$ durch $25$ .

$y^{2} = 16 + \frac{- 16 x^{2}}{25}$

Schritt 2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = 16 - \frac{16 x^{2}}{25}$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{16 - \frac{16 x^{2}}{25}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{16 - \frac{16 x^{2}}{25}}$ .

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Schritt 4.1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{4^{2} - \frac{16 x^{2}}{25}}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $\frac{16 x^{2}}{25}$ als ${(\frac{4 x}{5})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{4^{2} - {(\frac{4 x}{5})}^{2}}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = \frac{4 x}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(4 + \frac{4 x}{5}) (4 - \frac{4 x}{5})}$

Schritt 4.3

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(4 \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x}{5}) (4 - \frac{4 x}{5})}$

Schritt 4.4

Kombiniere $4$ und $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{4 \cdot 5}{5} + \frac{4 x}{5}) (4 - \frac{4 x}{5})}$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 \cdot 5 + 4 x}{5} (4 - \frac{4 x}{5})}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 5 + 4 x$ heraus.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 5$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (5) + 4 x}{5} (4 - \frac{4 x}{5})}$

Schritt 4.6.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (5) + 4 (x)}{5} (4 - \frac{4 x}{5})}$

Schritt 4.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (5) + 4 (x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (5 + x)}{5} (4 - \frac{4 x}{5})}$

Schritt 4.7

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (5 + x)}{5} (4 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 x}{5})}$

Schritt 4.8

Kombiniere $4$ und $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (5 + x)}{5} (\frac{4 \cdot 5}{5} - \frac{4 x}{5})}$

Schritt 4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (5 + x)}{5} \cdot \frac{4 \cdot 5 - 4 x}{5}}$

Schritt 4.10

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 5 - 4 x$ heraus.

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Schritt 4.10.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 5$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (5 + x)}{5} \cdot \frac{4 (5) - 4 x}{5}}$

Schritt 4.10.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (5 + x)}{5} \cdot \frac{4 (5) + 4 (- x)}{5}}$

Schritt 4.10.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (5) + 4 (- x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (5 + x)}{5} \cdot \frac{4 (5 - x)}{5}}$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $\frac{4 (5 + x)}{5}$ mit $\frac{4 (5 - x)}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (5 + x) (4 (5 - x))}{5 \cdot 5}}$

Schritt 4.12

Multipliziere.

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Schritt 4.12.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (5 + x) (5 - x)}{5 \cdot 5}}$

Schritt 4.12.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (5 + x) (5 - x)}{25}}$

Schritt 4.13

Schreibe $\frac{16 (5 + x) (5 - x)}{25}$ als ${(\frac{2^{2}}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))$ um.

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Schritt 4.13.1

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(2^{2})}^{2}$ aus $16 (5 + x) (5 - x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((5 + x) (5 - x))}{25}}$

Schritt 4.13.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{2}$ aus $25$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

Schritt 4.13.3

Ordne den Bruch $\frac{{(2^{2})}^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))}$

Schritt 4.14

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{2^{2}}{5} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 4.15

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{4}{5} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 4.16

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ .

$y = \pm \frac{4 \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{4 \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{4 \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{4 \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

$y = \frac{4 \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$