Analysis Beispiele

$x^{3} - 2 x^{2} y + 3 x y^{2} = 38$

Schritt 1

Subtrahiere $38$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 2 x^{2} y + 3 x y^{2} - 38 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 3 x$ , $b = - 2 x^{2}$ und $c = x^{3} - 38$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{2 x^{2} \pm \sqrt{{(- 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (3 x \cdot (x^{3} - 38))}}{2 (3 x)}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{{(- 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (3 (x \cdot (x^{3} - 38)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.2

Es sei $u = 3 (x \cdot (x^{3} - 38))$ . Ersetze $u$ für alle $3 (x \cdot (x^{3} - 38))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- 2 x^{2}$ an.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} {(x^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.2.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 {(x^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 x^{4} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 x)}$

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 x^{4} - 4 u}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{4} - 4 u$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{4}$ heraus.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4}) - 4 u}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4}) + 4 (- u)}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{4}) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - u)}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.4

Ersetze alle $u$ durch $3 (x \cdot (x^{3} - 38))$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x \cdot (x^{3} - 38))))}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x \cdot x^{3} + x \cdot - 38)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.5.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.1.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.1.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x \cdot x^{3} + x \cdot - 38)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.5.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x^{1 + 3} + x \cdot - 38)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.5.1.2.2

Addiere $1$ und $3$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x^{4} + x \cdot - 38)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.5.1.3

Bringe $- 38$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x^{4} - 38 \cdot x)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.5.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 x^{4} + 3 (- 38 x)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.5.1.5

Mutltipliziere $- 38$ mit $3$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 x^{4} - 114 x))}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.5.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 x^{4}) - (- 114 x))}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.5.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - 3 x^{4} - (- 114 x))}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.5.1.8

Mutltipliziere $- 114$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - 3 x^{4} + 114 x)}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.5.2

Subtrahiere $3 x^{4}$ von $x^{4}$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (- 2 x^{4} + 114 x)}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.6

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{4} + 114 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{4}$ heraus.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (2 x (- x^{3}) + 114 x)}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.6.2

Faktorisiere $2 x$ aus $114 x$ heraus.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (2 x (- x^{3}) + 2 x (57))}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.6.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- x^{3}) + 2 x (57)$ heraus.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (2 x (- x^{3} + 57))}}{2 \cdot (3 x)}$

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 \cdot (2 x (- x^{3} + 57))}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{8 x (- x^{3} + 57)}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.8

Schreibe $8 x (- x^{3} + 57)$ als $2^{2} \cdot (2 x (- x^{3} + 57))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (2) x (- x^{3} + 57)}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 x (- x^{3} + 57))}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x (- x^{3} + 57)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.8.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 x (- x^{3} + 57))}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 x^{2} \pm 2 \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{2 \cdot (3 x)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm 2 \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{6 x}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{2 x^{2} \pm 2 \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{6 x}$ .

$y = \frac{x^{2} \pm \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{3 x}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{x^{2} + \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{3 x}$

$y = \frac{x^{2} - \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{3 x}$