Analysis Beispiele

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{100} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{36} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{{(x - 3)}^{2}}{100}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{36} = 1 - \frac{{(x - 3)}^{2}}{100}$

Schritt 2

Vereinfache $1 - \frac{{(x - 3)}^{2}}{100}$ .

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Schritt 2.1

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{36} = \frac{100}{100} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{100}$

Schritt 2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{36} = \frac{100 - {(x - 3)}^{2}}{100}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{36} = \frac{10^{2} - {(x - 3)}^{2}}{100}$

Schritt 2.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 10$ und $b = x - 3$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{36} = \frac{(10 + x - 3) (10 - (x - 3))}{100}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Subtrahiere $3$ von $10$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (10 - (x - 3))}{100}$

Schritt 2.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (10 - x - - 3)}{100}$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (10 - x + 3)}{100}$

Schritt 2.2.3.4

Addiere $10$ und $3$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (- x + 13)}{100}$

Schritt 2.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (- (x) + 13)}{100}$

Schritt 2.3.2

Schreibe $13$ als $- 1 (- 13)$ um.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1 (- 13))}{100}$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 13)$ heraus.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (- (x - 13))}{100}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $- (x - 13)$ als $- 1 (x - 13)$ um.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (- 1 (x - 13))}{100}$

Schritt 2.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{36} = - \frac{(x + 7) (x - 13)}{100}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $36$ .

$36 \frac{{(y - 4)}^{2}}{36} = 36 (- \frac{(x + 7) (x - 13)}{100})$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $36$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$36 \frac{{(y - 4)}^{2}}{36} = 36 (- \frac{(x + 7) (x - 13)}{100})$

Schritt 4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(y - 4)}^{2} = 36 (- \frac{(x + 7) (x - 13)}{100})$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $36 (- \frac{(x + 7) (x - 13)}{100})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{(x + 7) (x - 13)}{100}$ in den Zähler.

${(y - 4)}^{2} = 36 \frac{- (x + 7) (x - 13)}{100}$

Schritt 4.2.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

${(y - 4)}^{2} = 4 (9) \frac{- (x + 7) (x - 13)}{100}$

Schritt 4.2.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $100$ heraus.

${(y - 4)}^{2} = 4 \cdot 9 \frac{- (x + 7) (x - 13)}{4 \cdot 25}$

Schritt 4.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y - 4)}^{2} = 4 \cdot 9 \frac{- (x + 7) (x - 13)}{4 \cdot 25}$

Schritt 4.2.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

${(y - 4)}^{2} = 9 \frac{- (x + 7) (x - 13)}{25}$

Schritt 4.2.1.2

Kombiniere $9$ und $\frac{- (x + 7) (x - 13)}{25}$ .

${(y - 4)}^{2} = \frac{9 (- (x + 7) (x - 13))}{25}$

Schritt 4.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

${(y - 4)}^{2} = \frac{- 9 ((x + 7) (x - 13))}{25}$

Schritt 4.2.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(y - 4)}^{2} = - \frac{9 (x + 7) (x - 13)}{25}$

Schritt 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 4 = \pm \sqrt{- \frac{9 (x + 7) (x - 13)}{25}}$

Schritt 6

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{9 (x + 7) (x - 13)}{25}}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe $- \frac{9 (x + 7) (x - 13)}{25}$ als ${(\frac{3}{5})}^{2} \cdot (- (x + 7) (x - 13))$ um.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9 (x + 7) (x - 13)$ heraus.

$y - 4 = \pm \sqrt{- \frac{3^{2} ((x + 7) (x - 13))}{25}}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{2}$ aus $25$ heraus.

$y - 4 = \pm \sqrt{- \frac{3^{2} ((x + 7) (x - 13))}{5^{2} \cdot 1}}$

Schritt 6.1.3

Ordne den Bruch $\frac{3^{2} ((x + 7) (x - 13))}{5^{2} \cdot 1}$ um.

$y - 4 = \pm \sqrt{- ({(\frac{3}{5})}^{2} ((x + 7) (x - 13)))}$

Schritt 6.1.4

Stelle $- 1$ und ${(\frac{3}{5})}^{2}$ um.

$y - 4 = \pm \sqrt{{(\frac{3}{5})}^{2} \cdot - 1 (x + 7) (x - 13)}$

Schritt 6.1.5

Füge Klammern hinzu.

$y - 4 = \pm \sqrt{{(\frac{3}{5})}^{2} \cdot - 1 ((x + 7) (x - 13))}$

Schritt 6.1.6

Füge Klammern hinzu.

$y - 4 = \pm \sqrt{{(\frac{3}{5})}^{2} \cdot (- (x + 7) (x - 13))}$

Schritt 6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y - 4 = \pm \frac{3}{5} \sqrt{- (x + 7) (x - 13)}$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $\sqrt{- (x + 7) (x - 13)}$ .

$y - 4 = \pm \frac{3 \sqrt{- (x + 7) (x - 13)}}{5}$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y - 4 = \frac{3 \sqrt{- (x + 7) (x - 13)}}{5}$

Schritt 7.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{3 \sqrt{- (x + 7) (x - 13)}}{5} + 4$

Schritt 7.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y - 4 = - \frac{3 \sqrt{- (x + 7) (x - 13)}}{5}$

Schritt 7.4

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{3 \sqrt{- (x + 7) (x - 13)}}{5} + 4$

Schritt 7.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{3 \sqrt{- (x + 7) (x - 13)}}{5} + 4$

$y = - \frac{3 \sqrt{- (x + 7) (x - 13)}}{5} + 4$

$y = \frac{3 \sqrt{- (x + 7) (x - 13)}}{5} + 4$

$y = - \frac{3 \sqrt{- (x + 7) (x - 13)}}{5} + 4$