Analysis Beispiele

$\log_{8} (z - 6) = 2 - \log_{8} (z + 15)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{8} (z - 6) + \log_{8} (z + 15) = 2$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{8} ((z - 6) (z + 15)) = 2$

Schritt 3

Multipliziere $(z - 6) (z + 15)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{8} (z (z + 15) - 6 (z + 15)) = 2$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{8} (z \cdot z + z \cdot 15 - 6 (z + 15)) = 2$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{8} (z \cdot z + z \cdot 15 - 6 z - 6 \cdot 15) = 2$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$\log_{8} (z^{2} + z \cdot 15 - 6 z - 6 \cdot 15) = 2$

Schritt 4.1.2

Bringe $15$ auf die linke Seite von $z$ .

$\log_{8} (z^{2} + 15 \cdot z - 6 z - 6 \cdot 15) = 2$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $15$ .

$\log_{8} (z^{2} + 15 z - 6 z - 90) = 2$

Schritt 4.2

Subtrahiere $6 z$ von $15 z$ .

$\log_{8} (z^{2} + 9 z - 90) = 2$

Schritt 5

Schreibe $\log_{8} (z^{2} + 9 z - 90) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$8^{2} = z^{2} + 9 z - 90$

Schritt 6

Löse nach $z$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $z^{2} + 9 z - 90 = 8^{2}$ um.

$z^{2} + 9 z - 90 = 8^{2}$

Schritt 6.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$z^{2} + 9 z - 90 = 64$

Schritt 6.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z^{2} + 9 z - 90 - 64 = 0$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $64$ von $- 90$ .

$z^{2} + 9 z - 154 = 0$

Schritt 6.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 9$ und $c = - 154$ in die Quadratformel ein und löse nach $z$ auf.

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 154)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6

Vereinfache.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.6.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 154}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 154$ .

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Schritt 6.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 154}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 154$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 616}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.3

Addiere $81$ und $616$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{697}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{697}}{2}$

Schritt 6.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$z = - \frac{9 - \sqrt{697}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{697}}{2}$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{8} (z - 6) = 2 - \log_{8} (z + 15)$ nicht erfüllen.

$z = - \frac{9 - \sqrt{697}}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$z = - \frac{9 - \sqrt{697}}{2}$

Dezimalform:

$z = 8.70037878 \dots$