Analysis Beispiele

$2 x + \frac{250}{x^{2}} = 0$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{2}, 1$

Schritt 1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $2 x + \frac{250}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $2 x + \frac{250}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2 + 1} + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 x^{3} + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{3} + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{3} + 250 = 0 x^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$2 x^{3} + 250 = 0$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $250$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} = - 250$

Schritt 3.2

Addiere $250$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} + 250 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} + 250$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$2 (x^{3}) + 250 = 0$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $250$ heraus.

$2 x^{3} + 2 \cdot 125 = 0$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} + 2 \cdot 125$ heraus.

$2 (x^{3} + 125) = 0$

Schritt 3.3.2

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

$2 (x^{3} + 5^{3}) = 0$

Schritt 3.3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$2 ((x + 5) (x^{2} - x \cdot 5 + 5^{2})) = 0$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.4.1

Vereinfache.

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Schritt 3.3.4.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$2 ((x + 5) (x^{2} - 5 x + 5^{2})) = 0$

Schritt 3.3.4.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$2 ((x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)) = 0$

Schritt 3.3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

$x^{2} - 5 x + 25 = 0$

Schritt 3.5

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 3.6

Setze $x^{2} - 5 x + 25$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x^{2} - 5 x + 25$ gleich $0$ .

$x^{2} - 5 x + 25 = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $x^{2} - 5 x + 25 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 5$ und $c = 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.2.3.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 3.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.3

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.4

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) = 0$ wahr machen.

$x = - 5, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$