Analysis Beispiele

$2 x - 12 \sqrt{x} = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 \sqrt{x} = - 2 x$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 12 \sqrt{x})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 12 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(- 12 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 12 x^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 12)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$144 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$144 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$144 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$144 x^{1} = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache.

$144 x = {(- 2 x)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(- 2 x)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 x$ an.

$144 x = {(- 2)}^{2} x^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$144 x = 4 x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$144 x - 4 x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$144 u - 4 u^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $4 u$ aus $144 u - 4 u^{2}$ heraus.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $4 u$ aus $144 u$ heraus.

$4 u (36) - 4 u^{2} = 0$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $4 u$ aus $- 4 u^{2}$ heraus.

$4 u (36) + 4 u (- u) = 0$

Schritt 4.2.2.3

Faktorisiere $4 u$ aus $4 u (36) + 4 u (- u)$ heraus.

$4 u (36 - u) = 0$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$4 x (36 - x) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$36 - x = 0$

Schritt 4.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.5

Setze $36 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $36 - x$ gleich $0$ .

$36 - x = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $36 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 36$

Schritt 4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 36$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 36$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 36}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 36}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 36}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.2.3.1

Dividiere $- 36$ durch $- 1$ .

$x = 36$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (36 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 36$