Analysis Beispiele

$54 = 20 + 0.1 x + 0.0003 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $20 + 0.1 x + 0.0003 x^{2} = 54$ um.

$20 + 0.1 x + 0.0003 x^{2} = 54$

Schritt 2

Subtrahiere $54$ von beiden Seiten der Gleichung.

$20 + 0.1 x + 0.0003 x^{2} - 54 = 0$

Schritt 3

Subtrahiere $54$ von $20$ .

$0.1 x + 0.0003 x^{2} - 34 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $0.0001$ aus $0.1 x + 0.0003 x^{2} - 34$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $0.0001$ aus $0.1 x$ heraus.

$0.0001 (1000 x) + 0.0003 x^{2} - 34 = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $0.0001$ aus $0.0003 x^{2}$ heraus.

$0.0001 (1000 x) + 0.0001 (3 x^{2}) - 34 = 0$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $0.0001$ aus $- 34$ heraus.

$0.0001 (1000 x) + 0.0001 (3 x^{2}) + 0.0001 (- 340000) = 0$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $0.0001$ aus $0.0001 (1000 x) + 0.0001 (3 x^{2})$ heraus.

$0.0001 (1000 x + 3 x^{2}) + 0.0001 (- 340000) = 0$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $0.0001$ aus $0.0001 (1000 x + 3 x^{2}) + 0.0001 (- 340000)$ heraus.

$0.0001 (1000 x + 3 x^{2} - 340000) = 0$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$0.0001 (3 x^{2} + 1000 x - 340000) = 0$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $0.0001 (3 x^{2} + 1000 x - 340000) = 0$ durch $0.0001$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $0.0001 (3 x^{2} + 1000 x - 340000) = 0$ durch $0.0001$ .

$\frac{0.0001 (3 x^{2} + 1000 x - 340000)}{0.0001} = \frac{0}{0.0001}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.0001$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.0001 (3 x^{2} + 1000 x - 340000)}{0.0001} = \frac{0}{0.0001}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $3 x^{2} + 1000 x - 340000$ durch $1$ .

$3 x^{2} + 1000 x - 340000 = \frac{0}{0.0001}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $0$ durch $0.0001$ .

$3 x^{2} + 1000 x - 340000 = 0$

Schritt 6

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7

Setze die Werte $a = 3$ , $b = 1000$ und $c = - 340000$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1000 \pm \sqrt{1000^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 340000)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $1000$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1000 \pm \sqrt{1000000 - 4 \cdot 3 \cdot - 340000}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 340000$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 1000 \pm \sqrt{1000000 - 12 \cdot - 340000}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 340000$ .

$x = \frac{- 1000 \pm \sqrt{1000000 + 4080000}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.3

Addiere $1000000$ und $4080000$ .

$x = \frac{- 1000 \pm \sqrt{5080000}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $5080000$ als $200^{2} \cdot 127$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $40000$ aus $5080000$ heraus.

$x = \frac{- 1000 \pm \sqrt{40000 (127)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $40000$ als $200^{2}$ um.

$x = \frac{- 1000 \pm \sqrt{200^{2} \cdot 127}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 1000 \pm 200 \sqrt{127}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 1000 \pm 200 \sqrt{127}}{6}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{- 1000 \pm 200 \sqrt{127}}{6}$ .

$x = \frac{- 500 \pm 100 \sqrt{127}}{3}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{500 - 100 \sqrt{127}}{3}, - \frac{500 + 100 \sqrt{127}}{3}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{500 - 100 \sqrt{127}}{3}, - \frac{500 + 100 \sqrt{127}}{3}$

Dezimalform:

$x = 208.98092231 \dots, - 542.31425565 \dots$