Analysis Beispiele

$- 4 x^{2} - y^{2} + 6 x + 2 y - y + 16 - 10 x - 27 + 3 y + 5 - 3 y^{2} + 5 x^{2} - y^{2} = 9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60$

Schritt 1

Vereinfache $- 4 x^{2} - y^{2} + 6 x + 2 y - y + 16 - 10 x - 27 + 3 y + 5 - 3 y^{2} + 5 x^{2} - y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Addiere $- 4 x^{2}$ und $5 x^{2}$ .

$x^{2} - y^{2} + 6 x + 2 y - y + 16 - 10 x - 27 + 3 y + 5 - 3 y^{2} - y^{2} = 9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60$

Schritt 1.2

Subtrahiere $3 y^{2}$ von $- y^{2}$ .

$x^{2} - 4 y^{2} + 6 x + 2 y - y + 16 - 10 x - 27 + 3 y + 5 - y^{2} = 9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60$

Schritt 1.3

Subtrahiere $y^{2}$ von $- 4 y^{2}$ .

$x^{2} - 5 y^{2} + 6 x + 2 y - y + 16 - 10 x - 27 + 3 y + 5 = 9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60$

Schritt 1.4

Subtrahiere $10 x$ von $6 x$ .

$x^{2} - 5 y^{2} - 4 x + 2 y - y + 16 - 27 + 3 y + 5 = 9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60$

Schritt 1.5

Subtrahiere $y$ von $2 y$ .

$x^{2} - 5 y^{2} - 4 x + y + 16 - 27 + 3 y + 5 = 9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60$

Schritt 1.6

Addiere $y$ und $3 y$ .

$x^{2} - 5 y^{2} - 4 x + 4 y + 16 - 27 + 5 = 9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60$

Schritt 1.7

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.7.1

Subtrahiere $27$ von $16$ .

$x^{2} - 5 y^{2} - 4 x + 4 y - 11 + 5 = 9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60$

Schritt 1.7.2

Addiere $- 11$ und $5$ .

$x^{2} - 5 y^{2} - 4 x + 4 y - 6 = 9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60$

Schritt 2

Vereinfache $9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60$ .

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Schritt 2.1

Subtrahiere $30$ von $9$ .

$x^{2} - 5 y^{2} - 4 x + 4 y - 6 = - 6 y^{2} - 4 y - 21 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60$

Schritt 2.2

Addiere $- 4 y$ und $y$ .

$x^{2} - 5 y^{2} - 4 x + 4 y - 6 = - 6 y^{2} - 3 y - 21 + 10 x + 17 - 3 y - 60$

Schritt 2.3

Subtrahiere $3 y$ von $- 3 y$ .

$x^{2} - 5 y^{2} - 4 x + 4 y - 6 = - 6 y^{2} - 6 y - 21 + 10 x + 17 - 60$

Schritt 2.4

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.4.1

Addiere $- 21$ und $17$ .

$x^{2} - 5 y^{2} - 4 x + 4 y - 6 = - 6 y^{2} - 6 y + 10 x - 4 - 60$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $60$ von $- 4$ .

$x^{2} - 5 y^{2} - 4 x + 4 y - 6 = - 6 y^{2} - 6 y + 10 x - 64$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $10 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 5 y^{2} - 4 x + 4 y - 6 - 10 x = - 6 y^{2} - 6 y - 64$

Schritt 3.2

Subtrahiere $10 x$ von $- 4 x$ .

$x^{2} - 5 y^{2} - 14 x + 4 y - 6 = - 6 y^{2} - 6 y - 64$

Schritt 4

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Addiere $6 y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 5 y^{2} - 14 x + 4 y - 6 + 6 y^{2} = - 6 y - 64$

Schritt 4.1.2

Addiere $6 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 5 y^{2} - 14 x + 4 y - 6 + 6 y^{2} + 6 y = - 64$

Schritt 4.1.3

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 5 y^{2} - 14 x + 4 y - 6 + 6 y^{2} + 6 y + 64 = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache $x^{2} - 5 y^{2} - 14 x + 4 y - 6 + 6 y^{2} + 6 y + 64$ .

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Schritt 4.2.1

Addiere $- 5 y^{2}$ und $6 y^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} - 14 x + 4 y - 6 + 6 y + 64 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $4 y$ und $6 y$ .

$x^{2} + y^{2} - 14 x + 10 y - 6 + 64 = 0$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 6$ und $64$ .

$x^{2} + y^{2} - 14 x + 10 y + 58 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 14$ und $c = y^{2} + 10 y + 58$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 10 y + 58))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 14$ mit $2$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 10 y + 58)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (y^{2} + 10 y + 58)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 y^{2} - 4 (10 y) - 4 \cdot 58}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Vereinfache.

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Schritt 7.1.4.1

Mutltipliziere $10$ mit $- 4$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 y^{2} - 40 y - 4 \cdot 58}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $58$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 y^{2} - 40 y - 232}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Subtrahiere $232$ von $196$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{- 4 y^{2} - 40 y - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $- 4 y^{2} - 40 y - 36$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 7.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y^{2} - 40 y - 36$ heraus.

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Schritt 7.1.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) - 40 y - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 40 y$ heraus.

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 10 y) - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 36$ heraus.

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 10 y) + 4 (- 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (- y^{2}) + 4 (- 10 y)$ heraus.

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 10 y) + 4 (- 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (- y^{2} - 10 y) + 4 (- 9)$ heraus.

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 10 y - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.1.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ und deren Summe gleich $b = - 10$ ist.

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Schritt 7.1.6.2.1.1

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 y$ heraus.

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 10 y - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.2.1.2

Schreibe $- 10$ um als $- 1$ plus $- 9$

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + (- 1 - 9) y - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 1 y - 9 y - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 ((- y^{2} - 1 y) - 9 y - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (y (- y - 1) + 9 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- y - 1$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 ((- y - 1) (y + 9))}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (- y - 1) (y + 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $4 (- y - 1) (y + 9)$ als $2^{2} ((- y - 1) (y + 3^{2}))$ um.

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Schritt 7.1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} (- y - 1) (y + 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} (- y - 1) (y + 3^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.7.3

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} ((- y - 1) (y + 3^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{(- y - 1) (y + 3^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.9

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{(- y - 1) (y + 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{(- y - 1) (y + 9)}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{14 \pm 2 \sqrt{(- y - 1) (y + 9)}}{2}$ .

$x = 7 \pm \sqrt{(- y - 1) (y + 9)}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 7 + \sqrt{(- y - 1) (y + 9)}$

$x = 7 - \sqrt{(- y - 1) (y + 9)}$