Analysis Beispiele

$49 e^{x} - 7 e^{2 x} = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $e^{2 x}$ als ${(e^{x})}^{2}$ um.

$49 e^{x} - 7 {(e^{x})}^{2} = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = e^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $e^{x}$ .

$49 u - 7 u^{2} = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $7 u$ aus $49 u - 7 u^{2}$ heraus.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $7 u$ aus $49 u$ heraus.

$7 u (7) - 7 u^{2} = 0$

Schritt 1.3.2

Faktorisiere $7 u$ aus $- 7 u^{2}$ heraus.

$7 u (7) + 7 u (- u) = 0$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $7 u$ aus $7 u (7) + 7 u (- u)$ heraus.

$7 u (7 - u) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $e^{x}$ .

$7 e^{x} (7 - e^{x}) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$7 - e^{x} = 0$

Schritt 3

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 3.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 3.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 4

Setze $7 - e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $7 - e^{x}$ gleich $0$ .

$7 - e^{x} = 0$

Schritt 4.2

Löse $7 - e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- e^{x} = - 7$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- e^{x} = - 7$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- e^{x} = - 7$ durch $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2.2

Dividiere $e^{x}$ durch $1$ .

$e^{x} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Dividiere $- 7$ durch $- 1$ .

$e^{x} = 7$

Schritt 4.2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (7)$

Schritt 4.2.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.2.4.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (7)$

Schritt 4.2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (7)$

Schritt 4.2.4.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (7)$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $7 e^{x} (7 - e^{x}) = 0$ wahr machen.

$x = \ln (7)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \ln (7)$

Dezimalform:

$x = 1.94591014 \dots$