Analysis Beispiele

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 1} = 3$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $10 {(1 + e^{- x})}^{- 1} = 3$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $10 {(1 + e^{- x})}^{- 1} = 3$ durch $10$ .

$\frac{10 {(1 + e^{- x})}^{- 1}}{10} = \frac{3}{10}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Bringe ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{10 (1 + e^{- x})} = \frac{3}{10}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10}{10 (1 + e^{- x})} = \frac{3}{10}$

Schritt 1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + e^{- x}} = \frac{3}{10}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $1 + e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 + e^{- x}} (1 + e^{- x}) = \frac{3}{10} (1 + e^{- x})$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + e^{- x}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + e^{- x}} (1 + e^{- x}) = \frac{3}{10} (1 + e^{- x})$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{3}{10} (1 + e^{- x})$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $\frac{3}{10} (1 + e^{- x})$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = \frac{3}{10} \cdot 1 + \frac{3}{10} e^{- x}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{3}{10}$ mit $1$ .

$1 = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} e^{- x}$

Schritt 3.2.1.3

Kombiniere $\frac{3}{10}$ und $e^{- x}$ .

$1 = \frac{3}{10} + \frac{3 e^{- x}}{10}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3}{10} + \frac{3 e^{- x}}{10} = 1$ um.

$\frac{3}{10} + \frac{3 e^{- x}}{10} = 1$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $\frac{3}{10}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 e^{- x}}{10} = 1 - \frac{3}{10}$

Schritt 4.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 e^{- x}}{10} = \frac{10}{10} - \frac{3}{10}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 e^{- x}}{10} = \frac{10 - 3}{10}$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $3$ von $10$ .

$\frac{3 e^{- x}}{10} = \frac{7}{10}$

Schritt 4.3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$3 e^{- x} = 7$

Schritt 4.4

Teile jeden Ausdruck in $3 e^{- x} = 7$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 e^{- x} = 7$ durch $3$ .

$\frac{3 e^{- x}}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 e^{- x}}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 4.4.2.1.2

Dividiere $e^{- x}$ durch $1$ .

$e^{- x} = \frac{7}{3}$

Schritt 4.5

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (\frac{7}{3})$

Schritt 4.6

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.6.1

Zerlege $\ln (e^{- x})$ durch Herausziehen von $- x$ aus dem Logarithmus.

$- x \ln (e) = \ln (\frac{7}{3})$

Schritt 4.6.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- x \cdot 1 = \ln (\frac{7}{3})$

Schritt 4.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- x = \ln (\frac{7}{3})$

Schritt 4.7

Teile jeden Ausdruck in $- x = \ln (\frac{7}{3})$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = \ln (\frac{7}{3})$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$

Schritt 4.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$

Schritt 4.7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$

Schritt 4.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.7.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot \ln (\frac{7}{3})$

Schritt 4.7.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \ln (\frac{7}{3})$ als $- \ln (\frac{7}{3})$ um.

$x = - \ln (\frac{7}{3})$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \ln (\frac{7}{3})$

Dezimalform:

$x = - 0.84729786 \dots$