Analysis Beispiele

$10 ({1.06}^{x}) = 12 ({1.14}^{x})$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (10 \cdot {1.06}^{x}) = \ln (12 \cdot {1.14}^{x})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (10 \cdot {1.06}^{x})$ als $\ln (10) + \ln ({1.06}^{x})$ um.

$\ln (10) + \ln ({1.06}^{x}) = \ln (12 \cdot {1.14}^{x})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({1.06}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (10) + x \ln (1.06) = \ln (12 \cdot {1.14}^{x})$

Schritt 3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (12 \cdot {1.14}^{x})$ als $\ln (12) + \ln ({1.14}^{x})$ um.

$\ln (10) + x \ln (1.06) = \ln (12) + \ln ({1.14}^{x})$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln ({1.14}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (10) + x \ln (1.06) = \ln (12) + x \ln (1.14)$

Schritt 4

Stelle $\ln (10)$ und $x \ln (1.06)$ um.

$x \ln (1.06) + \ln (10) = \ln (12) + x \ln (1.14)$

Schritt 5

Stelle $\ln (12)$ und $x \ln (1.14)$ um.

$x \ln (1.06) + \ln (10) = x \ln (1.14) + \ln (12)$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (1.06) + \ln (10) - x \ln (1.14) - \ln (12) = 0$

Schritt 7

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1.06) - x \ln (1.14) + \ln (\frac{10}{12}) = 0$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $12$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$x \ln (1.06) - x \ln (1.14) + \ln (\frac{2 (5)}{12}) = 0$

Schritt 8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$x \ln (1.06) - x \ln (1.14) + \ln (\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 6}) = 0$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \ln (1.06) - x \ln (1.14) + \ln (\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 6}) = 0$

Schritt 8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x \ln (1.06) - x \ln (1.14) + \ln (\frac{5}{6}) = 0$

Schritt 9

Subtrahiere $\ln (\frac{5}{6})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (1.06) - x \ln (1.14) = - \ln (\frac{5}{6})$

Schritt 10

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (1.06) - x \ln (1.14)$ heraus.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (1.06)$ heraus.

$x (\ln (1.06)) - x \ln (1.14) = - \ln (\frac{5}{6})$

Schritt 10.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (1.14)$ heraus.

$x (\ln (1.06)) + x (- 1 \ln (1.14)) = - \ln (\frac{5}{6})$

Schritt 10.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (1.06)) + x (- 1 \ln (1.14))$ heraus.

$x (\ln (1.06) - 1 \ln (1.14)) = - \ln (\frac{5}{6})$

Schritt 11

Schreibe $- 1 \ln (1.14)$ als $- \ln (1.14)$ um.

$x (\ln (1.06) - \ln (1.14)) = - \ln (\frac{5}{6})$

Schritt 12

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (1.06) - \ln (1.14)) = - \ln (\frac{5}{6})$ durch $\ln (1.06) - \ln (1.14)$ und vereinfache.

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Schritt 12.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (1.06) - \ln (1.14)) = - \ln (\frac{5}{6})$ durch $\ln (1.06) - \ln (1.14)$ .

$\frac{x (\ln (1.06) - \ln (1.14))}{\ln (1.06) - \ln (1.14)} = \frac{- \ln (\frac{5}{6})}{\ln (1.06) - \ln (1.14)}$

Schritt 12.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1.06) - \ln (1.14)$ .

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Schritt 12.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (1.06) - \ln (1.14))}{\ln (1.06) - \ln (1.14)} = \frac{- \ln (\frac{5}{6})}{\ln (1.06) - \ln (1.14)}$

Schritt 12.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{5}{6})}{\ln (1.06) - \ln (1.14)}$

Schritt 12.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{6})}{\ln (1.06) - \ln (1.14)}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{6})}{\ln (1.06) - \ln (1.14)}$

Dezimalform:

$x = - 2.50581603 \dots$