Analysis Beispiele

$\frac{lim_{h \to 0} (3 {(\frac{1}{2} + h)}^{5}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} 3 {(\frac{1}{2} + h)}^{5} - lim_{h \to 0} 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{3 lim_{h \to 0} {(\frac{1}{2} + h)}^{5} - lim_{h \to 0} 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Schritt 1.3

Ziehe den Exponenten $5$ von ${(\frac{1}{2} + h)}^{5}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 {(lim_{h \to 0} \frac{1}{2} + h)}^{5} - lim_{h \to 0} 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Schritt 1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3 {(lim_{h \to 0} \frac{1}{2} + lim_{h \to 0} h)}^{5} - lim_{h \to 0} 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{2}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{3 {(\frac{1}{2} + lim_{h \to 0} h)}^{5} - lim_{h \to 0} 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Schritt 1.6

Berechne den Grenzwert von $3 {(\frac{1}{2})}^{5}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{3 {(\frac{1}{2} + lim_{h \to 0} h)}^{5} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{2} + 0)}^{5} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Schritt 3.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{3 \frac{1^{5}}{2^{5}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Schritt 3.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3 \frac{1}{2^{5}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Schritt 3.1.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$\frac{3 (\frac{1}{32}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Schritt 3.1.5

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{32}$ .

$\frac{\frac{3}{32} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5}}{h}$

Schritt 3.1.6

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{\frac{3}{32} - 3 \frac{1^{5}}{2^{5}}}{h}$

Schritt 3.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\frac{3}{32} - 3 \frac{1}{2^{5}}}{h}$

Schritt 3.1.8

Potenziere $2$ mit $5$ .

$\frac{\frac{3}{32} - 3 (\frac{1}{32})}{h}$

Schritt 3.1.9

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{32}$ .

$\frac{\frac{3}{32} + \frac{- 3}{32}}{h}$

Schritt 3.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{3}{32} - \frac{3}{32}}{h}$

Schritt 3.1.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 - 3}{32}}{h}$

Schritt 3.1.12

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{\frac{0}{32}}{h}$

Schritt 3.1.13

Dividiere $0$ durch $32$ .

$\frac{0}{h}$

Schritt 3.2

Dividiere $0$ durch $h$ .

$0$