Analysis Beispiele

$12288 \sqrt{x} = 192 x^{2}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(12288 \sqrt{x})}^{2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(12288 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(12288 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $12288 x^{\frac{1}{2}}$ an.

$12288^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $12288$ mit $2$ .

$150994944 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$150994944 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Schritt 2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$150994944 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Schritt 2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$150994944 x^{1} = {(192 x^{2})}^{2}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache.

$150994944 x = {(192 x^{2})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(192 x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $192 x^{2}$ an.

$150994944 x = 192^{2} {(x^{2})}^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Potenziere $192$ mit $2$ .

$150994944 x = 36864 {(x^{2})}^{2}$

Schritt 2.3.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$150994944 x = 36864 x^{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$150994944 x = 36864 x^{4}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $36864 x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$150994944 x - 36864 x^{4} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $36864 x$ aus $150994944 x - 36864 x^{4}$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $36864 x$ aus $150994944 x$ heraus.

$36864 x (4096) - 36864 x^{4} = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $36864 x$ aus $- 36864 x^{4}$ heraus.

$36864 x (4096) + 36864 x (- x^{3}) = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $36864 x$ aus $36864 x (4096) + 36864 x (- x^{3})$ heraus.

$36864 x (4096 - x^{3}) = 0$

Schritt 3.2.2

Schreibe $4096$ als $16^{3}$ um.

$36864 x (16^{3} - x^{3}) = 0$

Schritt 3.2.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 16$ und $b = x$ .

$36864 x ((16 - x) (16^{2} + 16 x + x^{2})) = 0$

Schritt 3.2.4

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.4.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$36864 x ((16 - x) (256 + 16 x + x^{2})) = 0$

Schritt 3.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$36864 x (16 - x) (256 + 16 x + x^{2}) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$16 - x = 0$

$256 + 16 x + x^{2} = 0$

Schritt 3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze $16 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $16 - x$ gleich $0$ .

$16 - x = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $16 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 16$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 16$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 16$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.2.3.1

Dividiere $- 16$ durch $- 1$ .

$x = 16$

Schritt 3.6

Setze $256 + 16 x + x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $256 + 16 x + x^{2}$ gleich $0$ .

$256 + 16 x + x^{2} = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $256 + 16 x + x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 16$ und $c = 256$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 256)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.2.3.1.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 256$ .

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Schritt 3.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 1024}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.3

Subtrahiere $1024$ von $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 768}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.4

Schreibe $- 768$ als $- 1 (768)$ um.

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 768}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (768)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}$ um.

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.7

Schreibe $768$ als $16^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $256$ aus $768$ heraus.

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{256 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.7.2

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{16^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot (16 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.9

Bringe $16$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.6.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 8 \pm 8 i \sqrt{3}$

Schritt 3.6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $36864 x (16 - x) (256 + 16 x + x^{2}) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 16, - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$