Analysis Beispiele

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $2 \ln (2 x) + \ln (16 x)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (2 x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(2 x)}^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$\ln (2^{2} x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\ln (4 x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (4 x^{2} (16 x)) = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\ln (4 \cdot 16 x^{2} x) = 0$

Schritt 2.1.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.4.1

Bewege $x$ .

$\ln (4 \cdot 16 (x \cdot x^{2})) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (4 \cdot 16 (x^{1} x^{2})) = 0$

Schritt 2.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (4 \cdot 16 x^{1 + 2}) = 0$

Schritt 2.1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\ln (4 \cdot 16 x^{3}) = 0$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$\ln (64 x^{3}) = 0$

Schritt 3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (64 x^{3})} = e^{0}$

Schritt 4

Schreibe $\ln (64 x^{3}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 64 x^{3}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $64 x^{3} = e^{0}$ um.

$64 x^{3} = e^{0}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $e^{0}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$64 x^{3} - e^{0} = 0$

Schritt 5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$64 x^{3} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$64 x^{3} - 1 = 0$

Schritt 5.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Schreibe $64 x^{3}$ als ${(4 x)}^{3}$ um.

${(4 x)}^{3} - 1 = 0$

Schritt 5.4.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

${(4 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Schritt 5.4.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 4 x$ und $b = 1$ .

$(4 x - 1) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 5.4.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.4.1

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$(4 x - 1) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 5.4.4.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 5.4.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1^{2}) = 0$

Schritt 5.4.4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Schritt 5.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Schritt 5.6

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.6.1

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Schritt 5.6.2

Löse $4 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 1$

Schritt 5.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 5.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 5.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 5.7

Setze $16 x^{2} + 4 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.7.1

Setze $16 x^{2} + 4 x + 1$ gleich $0$ .

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Schritt 5.7.2

Löse $16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.7.2.2

Setze die Werte $a = 16$ , $b = 4$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.7.2.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Schritt 5.7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.7.2.3.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.7.2.3.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.7.2.3.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.7.2.3.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.7.2.3.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.7.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.7.2.3.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Schritt 5.7.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 5.7.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 5.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$