Analysis Beispiele

$2 \cos (3 x) + 1 = \cos (2 x) + 2 \cos (x)$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\cos (2 x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (3 x) + 1 - \cos (2 x) = 2 \cos (x)$

Schritt 1.2

Subtrahiere $2 \cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (3 x) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Benutze die Dreifachwinkelfunktion, um $\cos (3 x)$ in $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ umzuformen.

$2 (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Schritt 2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (- 3 \cos (x)) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 \cos^{3} (x) + 2 (- 3 \cos (x)) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Schritt 2.1.5

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $2 \cos^{2} (x) - 1$ zu transformieren.

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x) - 1) - 2 \cos (x) = 0$

Schritt 2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x)) + 1 - 2 \cos (x) = 0$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x) = 0$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x) = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $2 \cos (x)$ von $- 6 \cos (x)$ .

$8 \cos^{3} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 8 \cos (x) = 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$8 \cos^{3} (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $8 \cos^{3} (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x)$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $8 \cos^{3} (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x)$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 \cos^{3} (x)$ heraus.

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x) = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1) - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x) = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos^{2} (x)$ heraus.

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) - 8 \cos (x) = 0$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $2$ aus $- 8 \cos (x)$ heraus.

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x)) = 0$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1)$ heraus.

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1) + 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x)) = 0$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 \cos^{3} (x) + 1) + 2 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1 - \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x)) = 0$

Schritt 3.1.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 \cos^{3} (x) + 1 - \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x))$ heraus.

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1 - \cos^{2} (x) - 4 \cos (x)) = 0$

Schritt 3.2

Stelle die Terme um.

$2 (4 \cos^{3} (x) - \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1) = 0$

Schritt 3.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 (4 \cos^{3} (x) - \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1) = 0$

Schritt 3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 (\cos^{2} (x) (4 \cos (x) - 1) - (4 \cos (x) - 1)) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 \cos (x) - 1$ .

$2 ((4 \cos (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

Schritt 3.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 ((4 \cos (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

Schritt 3.6

Faktorisiere.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere.

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Schritt 3.6.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (x)$ und $b = 1$ .

$2 ((4 \cos (x) - 1) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1))) = 0$

Schritt 3.6.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 ((4 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Schritt 3.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (4 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 5

Setze $4 \cos (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $4 \cos (x) - 1$ gleich $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $4 \cos (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 \cos (x) = 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 \cos (x) = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \cos (x) = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

Schritt 5.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.1

Berechne $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$x = 1.31811607$

Schritt 5.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Schritt 5.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.6.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Schritt 5.2.6.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 1.31811607$ .

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Schritt 5.2.6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

Schritt 5.2.6.2.2

Subtrahiere $1.31811607$ von $6.2831853$ .

$x = 4.96506923$

Schritt 5.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Setze $\cos (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\cos (x) + 1$ gleich $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $\cos (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = - 1$

Schritt 6.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- 1)$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 6.2.4

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - π$

Schritt 6.2.5

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 6.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $\cos (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = 1$

Schritt 7.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7.2.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 7.2.5

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 7.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 7.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (4 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 9.1

Führe $π + 2 π n$ und $2 π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9.2

Führe $π n$ und $2 π + 2 π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, π n$ , für jede ganze Zahl $n$