Analysis Beispiele

$2 \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sin (2 x)$ . Ersetze $u$ für alle $\sin (2 x)$ .

$2 u^{2} - u = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u$ aus $2 u^{2} - u$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $u$ aus $2 u^{2}$ heraus.

$u (2 u) - u = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- u$ heraus.

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u (2 u) + u \cdot - 1$ heraus.

$u (2 u - 1) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) (2 \sin (2 x) - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

$2 \sin (2 x) - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $\sin (2 x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\sin (2 x)$ gleich $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Schritt 3.2

Löse $\sin (2 x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$2 x = 0$

Schritt 3.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x = π - 0$

Schritt 3.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.5.1

Vereinfache.

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Schritt 3.2.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 x = π + 0$

Schritt 3.2.5.1.2

Addiere $π$ und $0$ .

$2 x = π$

Schritt 3.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 3.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 3.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 3.2.6.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.2.7

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Setze $2 \sin (2 x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $2 \sin (2 x) - 1$ gleich $0$ .

$2 \sin (2 x) - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2 \sin (2 x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (2 x) = 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (2 x) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (2 x) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (2 x)$ durch $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 4.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 4.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 4.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.5.3.2

Multipliziere $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.2.5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Schritt 4.2.5.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Schritt 4.2.6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.7.1

Vereinfache.

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Schritt 4.2.7.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.7.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.7.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 4.2.7.1.4

Subtrahiere $π$ von $π \cdot 6$ .

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Schritt 4.2.7.1.4.1

Stelle $π$ und $6$ um.

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 4.2.7.1.4.2

Subtrahiere $π$ von $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Schritt 4.2.7.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Schritt 4.2.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Schritt 4.2.7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Schritt 4.2.7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.7.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.7.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.2.7.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Schritt 4.2.7.2.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Schritt 4.2.8

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 4.2.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.8.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 4.2.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 4.2.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 4.2.8.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.9

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\sin (2 x) (2 \sin (2 x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Führe $π n$ und $\frac{π}{2} + π n$ zu $\frac{π n}{2}$ zusammen.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$