Analysis Beispiele

$\ln (x - 2) + \ln (2 x - 3) = 2 \ln (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 2) (2 x - 3)) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 2) (2 x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3)) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3)) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\ln (2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (2 x^{2} + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.3.1.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\ln (2 x^{2} - 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$\ln (2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 3 x$ .

$\ln (2 x^{2} - 7 x + 6) = 2 \ln (x)$

Schritt 2

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (2 x^{2} - 7 x + 6) = \ln (x^{2})$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$2 x^{2} - 7 x + 6 = x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} = 0$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 7 x + 6 = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $x^{2} - 7 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 6, - 1$

Schritt 4.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 6) (x - 1) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 4.4

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 4.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 6, 1$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x - 2) + \ln (2 x - 3) = 2 \ln (x)$ nicht erfüllen.

$x = 6$