Analysis Beispiele

$\ln (x - 3) + \ln (2 x - 1) = \ln (3)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 3) (2 x - 1)) = \ln (3)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 3) (2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = \ln (3)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x (2 x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x - 1)) = \ln (3)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x (2 x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\ln (2 x \cdot x + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Schritt 1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Schritt 1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (2 x^{2} + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Schritt 1.3.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (2 x^{2} - 1 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Schritt 1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\ln (2 x^{2} - x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\ln (2 x^{2} - x - 6 x - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Schritt 1.3.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\ln (2 x^{2} - x - 6 x + 3) = \ln (3)$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $6 x$ von $- x$ .

$\ln (2 x^{2} - 7 x + 3) = \ln (3)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$2 x^{2} - 7 x + 3 = 3$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 7 x + 3 - 3 = 0$

Schritt 3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} - 7 x + 3 - 3$ .

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$2 x^{2} - 7 x + 0 = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $2 x^{2} - 7 x$ und $0$ .

$2 x^{2} - 7 x = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2} - 7 x$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$x (2 x) - 7 x = 0$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- 7 x$ heraus.

$x (2 x) + x \cdot - 7 = 0$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x) + x \cdot - 7$ heraus.

$x (2 x - 7) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 x - 7 = 0$

Schritt 3.5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.6

Setze $2 x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $2 x - 7$ gleich $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $2 x - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 7$

Schritt 3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 7$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 7$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 3.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (2 x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{7}{2}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x - 3) + \ln (2 x - 1) = \ln (3)$ nicht erfüllen.

$x = \frac{7}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{7}{2}$

Dezimalform:

$x = 3.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 3 \frac{1}{2}$