Analysis Beispiele

$\ln (x) - \ln (\frac{1}{x}) = 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{\frac{1}{x}}) = 2$

Schritt 1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (x \cdot x) = 2$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (x^{2}) = 2$

Schritt 2

Schreibe in Exponentialform.

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Schritt 2.1

Für logarithmische Gleichungen ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ mit $x > 0$ , $b > 0$ , and $b \neq 1$ . In diesem Fall: $b = e$ , $x = x^{2}$ und $y = 2$ .

$b = e$

$x = x^{2}$

$y = 2$

Schritt 2.2

Setze die Werte von $b$ , $x$ , und $y$ in die Gleichung $b^{y} = x$ ein.

$e^{2} = x^{2}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} = e^{2}$ um.

$x^{2} = e^{2}$

Schritt 3.2

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$| x | = | e |$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x = \pm | e |$

Schritt 3.3.2

$e$ ist ungefähr $2.71828182$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$x = \pm e$

Schritt 3.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = e$

Schritt 3.3.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - e$

Schritt 3.3.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = e, - e$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x) - \ln (\frac{1}{x}) = 2$ nicht erfüllen.

$x = e$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = e$

Dezimalform:

$x = 2.71828182 \dots$