Analysis Beispiele

$\ln (x + 11) + \ln (x - 5) = 2 \ln (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x + 11) (x - 5)) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + 11) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x (x - 5) + 11 (x - 5)) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 5 + 11 (x - 5)) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 5 + 11 x + 11 \cdot - 5) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 5 + 11 x + 11 \cdot - 5) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (x^{2} - 5 \cdot x + 11 x + 11 \cdot - 5) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $11$ mit $- 5$ .

$\ln (x^{2} - 5 x + 11 x - 55) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.3.2

Addiere $- 5 x$ und $11 x$ .

$\ln (x^{2} + 6 x - 55) = 2 \ln (x)$

Schritt 2

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (x^{2} + 6 x - 55) = \ln (x^{2})$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} + 6 x - 55 = x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 6 x - 55 - x^{2} = 0$

Schritt 4.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 6 x - 55 - x^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$6 x - 55 + 0 = 0$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $6 x - 55$ und $0$ .

$6 x - 55 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $55$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = 55$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 55$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 55$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{55}{6}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{55}{6}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{55}{6}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{55}{6}$

Dezimalform:

$x = 9.1\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 9 \frac{1}{6}$