Analysis Beispiele

$\ln (x) - \ln (x - 1) = \ln (4 x - 6)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{x - 1}) = \ln (4 x - 6)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$\frac{x}{x - 1} = 4 x - 6$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x - 1, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Entferne die Klammern.

$x - 1, 1, 1$

Schritt 3.1.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x - 1$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{x - 1} = 4 x - 6$ mit $x - 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{x - 1} = 4 x - 6$ mit $x - 1$ .

$\frac{x}{x - 1} (x - 1) = 4 x (x - 1) - 6 (x - 1)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{x - 1} (x - 1) = 4 x (x - 1) - 6 (x - 1)$

Schritt 3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 4 x (x - 1) - 6 (x - 1)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 1 - 6 (x - 1)$

Schritt 3.2.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$x = 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 1 - 6 (x - 1)$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x = 4 x^{2} + 4 x \cdot - 1 - 6 (x - 1)$

Schritt 3.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x = 4 x^{2} - 4 x - 6 (x - 1)$

Schritt 3.2.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 4 x^{2} - 4 x - 6 x - 6 \cdot - 1$

Schritt 3.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$x = 4 x^{2} - 4 x - 6 x + 6$

Schritt 3.2.3.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 4 x$ .

$x = 4 x^{2} - 10 x + 6$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 x^{2} - 10 x + 6 = x$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 10 x + 6 - x = 0$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $x$ von $- 10 x$ .

$4 x^{2} - 11 x + 6 = 0$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 6 = 24$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

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Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 x$ heraus.

$4 x^{2} - 11 x + 6 = 0$

Schritt 3.3.3.1.2

Schreibe $- 11$ um als $- 3$ plus $- 8$

$4 x^{2} + (- 3 - 8) x + 6 = 0$

Schritt 3.3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 3 x - 8 x + 6 = 0$

Schritt 3.3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 x^{2} - 3 x) - 8 x + 6 = 0$

Schritt 3.3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (4 x - 3) - 2 (4 x - 3) = 0$

Schritt 3.3.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x - 3$ .

$(4 x - 3) (x - 2) = 0$

Schritt 3.3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 3.3.5

Setze $4 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.5.1

Setze $4 x - 3$ gleich $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Schritt 3.3.5.2

Löse $4 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 3$

Schritt 3.3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 3.3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 3.3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Schritt 3.3.6

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.6.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.3.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 x - 3) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{4}, 2$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x) - \ln (x - 1) = \ln (4 x - 6)$ nicht erfüllen.

$x = 2$