Analysis Beispiele

$\ln (x) = \frac{1}{3} \cdot (\ln (16) + 2 \ln (2))$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{1}{3} \cdot (\ln (16) + 2 \ln (2))$ .

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x) = \frac{1}{3} \ln (16) + \frac{1}{3} (2 \ln (2))$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (16)$ .

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{1}{3} (2 \ln (2))$

Schritt 1.1.3

Multipliziere $\frac{1}{3} (2 \ln (2))$ .

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Schritt 1.1.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2}{3} \ln (2)$

Schritt 1.1.3.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\ln (2)$ .

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$ mit $3$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$ mit $3$ .

$\ln (x) \cdot 3 = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\ln (x)$ .

$3 \ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Schritt 2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \ln (x) = \ln (16) + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \ln (x) = \ln (16) + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Schritt 2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \ln (x) = \ln (16) + 2 \ln (2)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $3 \ln (x)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + 2 \ln (2)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $\ln (16) + 2 \ln (2)$ .

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (2)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + \ln (2^{2})$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + \ln (4)$

Schritt 4.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{3}) = \ln (16 \cdot 4)$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$\ln (x^{3}) = \ln (64)$

Schritt 5

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{3} = 64$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 64 = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$x^{3} - 4^{3} = 0$

Schritt 6.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$(x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2}) = 0$

Schritt 6.2.3.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Schritt 6.4

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 6.4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 6.5

Setze $x^{2} + 4 x + 16$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $x^{2} + 4 x + 16$ gleich $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Schritt 6.5.2

Löse $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 4$ und $c = 16$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.2.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 6.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.1.3

Subtrahiere $64$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.5.2.3.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 6.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$