Analysis Beispiele

$\ln (5 x - 6) + \ln (6 x) = 2 \ln (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((5 x - 6) (6 x)) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (5 x (6 x) - 6 (6 x)) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\ln (5 \cdot (6 x \cdot x) - 6 (6 x)) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 6$ .

$\ln (5 \cdot (6 x \cdot x) - 36 x) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.1

Bewege $x$ .

$\ln (5 \cdot (6 (x \cdot x)) - 36 x) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (5 \cdot (6 x^{2}) - 36 x) = 2 \ln (x)$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$\ln (30 x^{2} - 36 x) = 2 \ln (x)$

Schritt 2

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (30 x^{2} - 36 x) = \ln (x^{2})$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$30 x^{2} - 36 x = x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$30 x^{2} - 36 x - x^{2} = 0$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $30 x^{2}$ .

$29 x^{2} - 36 x = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $x$ aus $29 x^{2} - 36 x$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $29 x^{2}$ heraus.

$x (29 x) - 36 x = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 36 x$ heraus.

$x (29 x) + x \cdot - 36 = 0$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (29 x) + x \cdot - 36$ heraus.

$x (29 x - 36) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$29 x - 36 = 0$

Schritt 4.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.5

Setze $29 x - 36$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $29 x - 36$ gleich $0$ .

$29 x - 36 = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $29 x - 36 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Addiere $36$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$29 x = 36$

Schritt 4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $29 x = 36$ durch $29$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $29 x = 36$ durch $29$ .

$\frac{29 x}{29} = \frac{36}{29}$

Schritt 4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $29$ .

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Schritt 4.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{29 x}{29} = \frac{36}{29}$

Schritt 4.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{36}{29}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (29 x - 36) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{36}{29}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (5 x - 6) + \ln (6 x) = 2 \ln (x)$ nicht erfüllen.

$x = \frac{36}{29}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{36}{29}$

Dezimalform:

$x = 1.24137931 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 1 \frac{7}{29}$