Analysis Beispiele

\ln (x^{4}) - \ln (x^{2}) = 2

$\ln (x^{4}) - \ln (x^{2}) = 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen,

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

\ln (\frac{x^{4}}{x^{2}}) = 2

$\ln (\frac{x^{4}}{x^{2}}) = 2$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

x^{4}

$x^{4}$ und

x^{2}

$x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere

x^{2}

$x^{2}$ aus

x^{4}

$x^{4}$ heraus.

\ln (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}}) = 2

$\ln (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}}) = 2$

Schritt 1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Multipliziere mit

1

$1$ .

\ln (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1}) = 2

$\ln (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1}) = 2$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\ln (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1}) = 2

$\ln (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1}) = 2$

Schritt 1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

\ln (\frac{x^{2}}{1}) = 2

$\ln (\frac{x^{2}}{1}) = 2$

Schritt 1.2.2.4

Dividiere

x^{2}

$x^{2}$ durch

1

$1$ .

\ln (x^{2}) = 2

$\ln (x^{2}) = 2$

\ln (x^{2}) = 2

$\ln (x^{2}) = 2$

\ln (x^{2}) = 2

$\ln (x^{2}) = 2$

\ln (x^{2}) = 2

$\ln (x^{2}) = 2$

Schritt 2

Schreibe in Exponentialform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Für logarithmische Gleichungen ist

\log_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu

b^{y} = x

$b^{y} = x$ mit

x > 0

$x > 0$ ,

b > 0

$b > 0$ , and

b \neq 1

$b \neq 1$ . In diesem Fall:

b = e

$b = e$ ,

x = x^{2}

$x = x^{2}$ und

y = 2

$y = 2$ .

b = e

$b = e$

x = x^{2}

$x = x^{2}$

y = 2

$y = 2$

Schritt 2.2

Setze die Werte von

b

$b$ ,

x

$x$ , und

y

$y$ in die Gleichung

b^{y} = x

$b^{y} = x$ ein.

e^{2} = x^{2}

$e^{2} = x^{2}$

e^{2} = x^{2}

$e^{2} = x^{2}$

Schritt 3

Löse nach

x

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als

x^{2} = e^{2}

$x^{2} = e^{2}$ um.

x^{2} = e^{2}

$x^{2} = e^{2}$

Schritt 3.2

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

| x | = | e |

$| x | = | e |$

Schritt 3.3

Löse nach

x

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein

\pm

$\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da

| x | = \pm x

$| x | = \pm x$ .

x = \pm | e |

$x = \pm | e |$

Schritt 3.3.2

e

$e$ ist ungefähr

2.71828182

$2.71828182$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

x = \pm e

$x = \pm e$

Schritt 3.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

\pm

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

x = e

$x = e$

Schritt 3.3.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

\pm

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

x = - e

$x = - e$

Schritt 3.3.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

x = e, - e

$x = e, - e$

x = e, - e

$x = e, - e$

x = e, - e

$x = e, - e$

x = e, - e

$x = e, - e$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

x = e, - e

$x = e, - e$

Dezimalform:

x = 2.71828182 \dots, - 2.71828182 \dots

$x = 2.71828182 \dots, - 2.71828182 \dots$