Analysis Beispiele

$\ln (5 x + 1) + \ln (x) = \ln (4)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((5 x + 1) x) = \ln (4)$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (5 x \cdot x + 1 x) = \ln (4)$

Schritt 1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Bewege $x$ .

$\ln (5 (x \cdot x) + 1 x) = \ln (4)$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (5 x^{2} + 1 x) = \ln (4)$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (5 x^{2} + x) = \ln (4)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$5 x^{2} + x = 4$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} + x - 4 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 4 = - 20$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$5 x^{2} + 1 x - 4 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $1$ um als $- 4$ plus $5$

$5 x^{2} + (- 4 + 5) x - 4 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} - 4 x + 5 x - 4 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(5 x^{2} - 4 x) + 5 x - 4 = 0$

Schritt 3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (5 x - 4) + 1 (5 x - 4) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x - 4$ .

$(5 x - 4) (x + 1) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 3.4

Setze $5 x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $5 x - 4$ gleich $0$ .

$5 x - 4 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $5 x - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 4$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 4$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 4$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Schritt 3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{5}$

Schritt 3.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 x - 4) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{4}{5}, - 1$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (5 x + 1) + \ln (x) = \ln (4)$ nicht erfüllen.

$x = \frac{4}{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{4}{5}$

Dezimalform:

$x = 0.8$