Analysis Beispiele

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache $\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (2 x - 1)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - \ln ({(2 x - 1)}^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}) = 0$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}) = 0$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = e^{0} ({(2 x - 1)}^{2})$

Schritt 5

Vereinfache $e^{0} ({(2 x - 1)}^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 1 {(2 x - 1)}^{2}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere ${(2 x - 1)}^{2}$ mit $1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = {(2 x - 1)}^{2}$

Schritt 5.1.3

Schreibe ${(2 x - 1)}^{2}$ als $(2 x - 1) (2 x - 1)$ um.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = (2 x - 1) (2 x - 1)$

Schritt 5.2

Multipliziere $(2 x - 1) (2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 4 x + 1$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} + 2 x - 15 - 4 x^{2} = - 4 x + 1$

Schritt 6.2

Addiere $4 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} + 2 x - 15 - 4 x^{2} + 4 x = 1$

Schritt 6.3

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $5 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x - 15 + 4 x = 1$

Schritt 6.4

Addiere $2 x$ und $4 x$ .

$x^{2} + 6 x - 15 = 1$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 6 x = 1 + 15$

Schritt 7.2

Addiere $1$ und $15$ .

$x^{2} + 6 x = 16$

Schritt 8

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 6 x - 16 = 0$

Schritt 9

Faktorisiere $x^{2} + 6 x - 16$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 16$ und deren Summe $6$ ist.

$- 2, 8$

Schritt 9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 2) (x + 8) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 8 = 0$

Schritt 11

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 11.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 12

Setze $x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Setze $x + 8$ gleich $0$ .

$x + 8 = 0$

Schritt 12.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x + 8) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 8$

Schritt 14

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$ nicht erfüllen.

$x = 2$