Analysis Beispiele

$\ln (4 x) - 3 \ln (x^{2}) = \ln (2)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (4 x) - 3 \ln (x^{2}) - \ln (2) = 0$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4 x}{2}) - 3 \ln (x^{2}) = 0$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\ln (\frac{2 (2 x)}{2}) - 3 \ln (x^{2}) = 0$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (\frac{2 (2 x)}{2 (1)}) - 3 \ln (x^{2}) = 0$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{2 (2 x)}{2 \cdot 1}) - 3 \ln (x^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{2 x}{1}) - 3 \ln (x^{2}) = 0$

Schritt 3.2.4

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$\ln (2 x) - 3 \ln (x^{2}) = 0$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $\ln (2 x) - 3 \ln (x^{2})$ .

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Vereinfache $- 3 \ln (x^{2})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (2 x) - \ln ({(x^{2})}^{3}) = 0$

Schritt 4.1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 4.1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (2 x) - \ln (x^{2 \cdot 3}) = 0$

Schritt 4.1.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\ln (2 x) - \ln (x^{6}) = 0$

Schritt 4.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2 x}{x^{6}}) = 0$

Schritt 4.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{6}$ .

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Schritt 4.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\ln (\frac{x \cdot 2}{x^{6}}) = 0$

Schritt 4.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{6}$ heraus.

$\ln (\frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{5}}) = 0$

Schritt 4.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{5}}) = 0$

Schritt 4.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{2}{x^{5}}) = 0$

Schritt 5

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{2}{x^{5}})} = e^{0}$

Schritt 6

Schreibe $\ln (\frac{2}{x^{5}}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{2}{x^{5}}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2}{x^{5}} = e^{0}$ um.

$\frac{2}{x^{5}} = e^{0}$

Schritt 7.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{2}{x^{5}} = 1$

Schritt 7.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{5}, 1$

Schritt 7.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{5}$

Schritt 7.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{x^{5}} = 1$ mit $x^{5}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 7.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{x^{5}} = 1$ mit $x^{5}$ .

$\frac{2}{x^{5}} x^{5} = 1 x^{5}$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{5}$ .

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Schritt 7.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x^{5}} x^{5} = 1 x^{5}$

Schritt 7.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 = 1 x^{5}$

Schritt 7.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.3.1

Mutltipliziere $x^{5}$ mit $1$ .

$2 = x^{5}$

Schritt 7.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 7.5.1

Schreibe die Gleichung als $x^{5} = 2$ um.

$x^{5} = 2$

Schritt 7.5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt[5]{2}$

Dezimalform:

$x = 1.14869835 \dots$