Analysis Beispiele

\ln (4 x) - 3 \ln (x^{2}) = \ln (2)

$\ln (4 x) - 3 \ln (x^{2}) = \ln (2)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

\ln (4 x) - 3 \ln (x^{2}) - \ln (2) = 0

$\ln (4 x) - 3 \ln (x^{2}) - \ln (2) = 0$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen,

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

\ln (\frac{4 x}{2}) - 3 \ln (x^{2}) = 0

$\ln (\frac{4 x}{2}) - 3 \ln (x^{2}) = 0$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von

4

$4$ und

2

$2$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

4 x

$4 x$ heraus.

\ln (\frac{2 (2 x)}{2}) - 3 \ln (x^{2}) = 0

$\ln (\frac{2 (2 x)}{2}) - 3 \ln (x^{2}) = 0$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

2

$2$ heraus.

\ln (\frac{2 (2 x)}{2 (1)}) - 3 \ln (x^{2}) = 0

$\ln (\frac{2 (2 x)}{2 (1)}) - 3 \ln (x^{2}) = 0$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\ln (\frac{2 (2 x)}{2 \cdot 1}) - 3 \ln (x^{2}) = 0

$\ln (\frac{2 (2 x)}{2 \cdot 1}) - 3 \ln (x^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

\ln (\frac{2 x}{1}) - 3 \ln (x^{2}) = 0

$\ln (\frac{2 x}{1}) - 3 \ln (x^{2}) = 0$

Schritt 3.2.4

Dividiere

2 x

$2 x$ durch

1

$1$ .

\ln (2 x) - 3 \ln (x^{2}) = 0

$\ln (2 x) - 3 \ln (x^{2}) = 0$

\ln (2 x) - 3 \ln (x^{2}) = 0

$\ln (2 x) - 3 \ln (x^{2}) = 0$

\ln (2 x) - 3 \ln (x^{2}) = 0

$\ln (2 x) - 3 \ln (x^{2}) = 0$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache

\ln (2 x) - 3 \ln (x^{2})

$\ln (2 x) - 3 \ln (x^{2})$ .

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Vereinfache

- 3 \ln (x^{2})

$- 3 \ln (x^{2})$ , indem du

3

$3$ in den Logarithmus ziehst.

\ln (2 x) - \ln ({(x^{2})}^{3}) = 0

$\ln (2 x) - \ln ({(x^{2})}^{3}) = 0$

Schritt 4.1.1.2

Multipliziere die Exponenten in

{(x^{2})}^{3}

${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 4.1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\ln (2 x) - \ln (x^{2 \cdot 3}) = 0

$\ln (2 x) - \ln (x^{2 \cdot 3}) = 0$

Schritt 4.1.1.2.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

3

$3$ .

\ln (2 x) - \ln (x^{6}) = 0

$\ln (2 x) - \ln (x^{6}) = 0$

\ln (2 x) - \ln (x^{6}) = 0

$\ln (2 x) - \ln (x^{6}) = 0$

\ln (2 x) - \ln (x^{6}) = 0

$\ln (2 x) - \ln (x^{6}) = 0$

Schritt 4.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen,

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

\ln (\frac{2 x}{x^{6}}) = 0

$\ln (\frac{2 x}{x^{6}}) = 0$

Schritt 4.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von

x

$x$ und

x^{6}

$x^{6}$ .

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Schritt 4.1.3.1

Faktorisiere

x

$x$ aus

2 x

$2 x$ heraus.

\ln (\frac{x \cdot 2}{x^{6}}) = 0

$\ln (\frac{x \cdot 2}{x^{6}}) = 0$

Schritt 4.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.3.2.1

Faktorisiere

x

$x$ aus

x^{6}

$x^{6}$ heraus.

\ln (\frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{5}}) = 0

$\ln (\frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{5}}) = 0$

Schritt 4.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\ln (\frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{5}}) = 0

$\ln (\frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{5}}) = 0$

Schritt 4.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

\ln (\frac{2}{x^{5}}) = 0

$\ln (\frac{2}{x^{5}}) = 0$

\ln (\frac{2}{x^{5}}) = 0

$\ln (\frac{2}{x^{5}}) = 0$

\ln (\frac{2}{x^{5}}) = 0

$\ln (\frac{2}{x^{5}}) = 0$

\ln (\frac{2}{x^{5}}) = 0

$\ln (\frac{2}{x^{5}}) = 0$

\ln (\frac{2}{x^{5}}) = 0

$\ln (\frac{2}{x^{5}}) = 0$

Schritt 5

Um nach

x

$x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

e^{\ln (\frac{2}{x^{5}})} = e^{0}

$e^{\ln (\frac{2}{x^{5}})} = e^{0}$

Schritt 6

Schreibe

\ln (\frac{2}{x^{5}}) = 0

$\ln (\frac{2}{x^{5}}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn

x

$x$ und

b

$b$ positive reelle Zahlen sind und

b \neq 1

$b \neq 1$ ist, dann ist

\log_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ gleich

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

e^{0} = \frac{2}{x^{5}}

$e^{0} = \frac{2}{x^{5}}$

Schritt 7

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als

\frac{2}{x^{5}} = e^{0}

$\frac{2}{x^{5}} = e^{0}$ um.

\frac{2}{x^{5}} = e^{0}

$\frac{2}{x^{5}} = e^{0}$

Schritt 7.2

Alles, was mit

0

$0$ potenziert wird, ist

1

$1$ .

\frac{2}{x^{5}} = 1

$\frac{2}{x^{5}} = 1$

Schritt 7.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

x^{5}, 1

$x^{5}, 1$

Schritt 7.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

x^{5}

$x^{5}$

x^{5}

$x^{5}$

Schritt 7.4

Multipliziere jeden Term in

\frac{2}{x^{5}} = 1

$\frac{2}{x^{5}} = 1$ mit

x^{5}

$x^{5}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 7.4.1

Multipliziere jeden Term in

\frac{2}{x^{5}} = 1

$\frac{2}{x^{5}} = 1$ mit

x^{5}

$x^{5}$ .

\frac{2}{x^{5}} x^{5} = 1 x^{5}

$\frac{2}{x^{5}} x^{5} = 1 x^{5}$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

x^{5}

$x^{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{2}{x^{5}} x^{5} = 1 x^{5}

$\frac{2}{x^{5}} x^{5} = 1 x^{5}$

Schritt 7.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

2 = 1 x^{5}

$2 = 1 x^{5}$

2 = 1 x^{5}

$2 = 1 x^{5}$

2 = 1 x^{5}

$2 = 1 x^{5}$

Schritt 7.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.3.1

Mutltipliziere

x^{5}

$x^{5}$ mit

1

$1$ .

2 = x^{5}

$2 = x^{5}$

2 = x^{5}

$2 = x^{5}$

2 = x^{5}

$2 = x^{5}$

Schritt 7.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 7.5.1

Schreibe die Gleichung als

x^{5} = 2

$x^{5} = 2$ um.

x^{5} = 2

$x^{5} = 2$

Schritt 7.5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

x = \sqrt[5]{2}

$x = \sqrt[5]{2}$

x = \sqrt[5]{2}

$x = \sqrt[5]{2}$

x = \sqrt[5]{2}

$x = \sqrt[5]{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

x = \sqrt[5]{2}

$x = \sqrt[5]{2}$

Dezimalform:

x = 1.14869835 \dots

$x = 1.14869835 \dots$