Analysis Beispiele

$\ln (x^{7}) - 4 \ln (x) = 1$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (x^{7}) - 4 \ln (x) = 1$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\ln (x^{7}) - 4 \ln (x)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $- 4 \ln (x)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (x^{7}) - \ln (x^{4}) = 1$

Schritt 2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{7}}{x^{4}}) = 1$

Schritt 2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{7}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{7}$ heraus.

$\ln (\frac{x^{4} x^{3}}{x^{4}}) = 1$

Schritt 2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\ln (\frac{x^{4} x^{3}}{x^{4} \cdot 1}) = 1$

Schritt 2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{x^{4} x^{3}}{x^{4} \cdot 1}) = 1$

Schritt 2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{x^{3}}{1}) = 1$

Schritt 2.1.3.2.4

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$\ln (x^{3}) = 1$

Schritt 3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{3})} = e^{1}$

Schritt 4

Schreibe $\ln (x^{3}) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{3}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $x^{3} = e^{1}$ um.

$x^{3} = e$

Schritt 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{e^{1}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$x = \sqrt[3]{e}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt[3]{e}$

Dezimalform:

$x = 1.39561242 \dots$