Analysis Beispiele

$\ln (\sqrt{x + 9}) = 4$

Schritt 1

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\sqrt{x + 9})} = e^{4}$

Schritt 2

Schreibe $\ln (\sqrt{x + 9}) = 4$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{4} = \sqrt{x + 9}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{x + 9} = e^{4}$ um.

$\sqrt{x + 9} = e^{4}$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x + 9}}^{2} = {(e^{4})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 9}$ als ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{4})}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{4})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{4})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 9)}^{1} = {(e^{4})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$x + 9 = {(e^{4})}^{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{4})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 9 = e^{4 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x + 9 = e^{8}$

Schritt 3.4

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = e^{8} - 9$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = e^{8} - 9$

Dezimalform:

$x = 2971.95798704 \dots$