Analysis Beispiele

$f x = \sqrt[3]{x}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{x} = f x$ um.

$\sqrt[3]{x} = f x$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(f x)}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(f x)}^{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(f x)}^{3}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(f x)}^{3}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(f x)}^{3}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$x = {(f x)}^{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Wende die Produktregel auf $f x$ an.

$x = f^{3} x^{3}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $f^{3} x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - f^{3} x^{3} = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $x$ aus $x - f^{3} x^{3}$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 - f^{3} x^{3} = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- f^{3} x^{3}$ heraus.

$x \cdot 1 + x (- f^{3} x^{2}) = 0$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- f^{3} x^{2})$ heraus.

$x (1 - f^{3} x^{2}) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$1 - f^{3} x^{2} = 0$

Schritt 4.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.5

Setze $1 - f^{3} x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $1 - f^{3} x^{2}$ gleich $0$ .

$1 - f^{3} x^{2} = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $1 - f^{3} x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- f^{3} x^{2} = - 1$

Schritt 4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- f^{3} x^{2} = - 1$ durch $- f^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- f^{3} x^{2} = - 1$ durch $- f^{3}$ .

$\frac{- f^{3} x^{2}}{- f^{3}} = \frac{- 1}{- f^{3}}$

Schritt 4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{f^{3} x^{2}}{f^{3}} = \frac{- 1}{- f^{3}}$

Schritt 4.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $f^{3}$ .

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Schritt 4.5.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{f^{3} x^{2}}{f^{3}} = \frac{- 1}{- f^{3}}$

Schritt 4.5.2.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- f^{3}}$

Schritt 4.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{1}{f^{3}}$

Schritt 4.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{f^{3}}}$

Schritt 4.5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{f^{3}}}$ .

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Schritt 4.5.2.4.1

Schreibe $\frac{1}{f^{3}}$ als ${(\frac{1}{f})}^{2} \frac{1}{f}$ um.

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Schritt 4.5.2.4.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $1$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \cdot 1}{f^{3}}}$

Schritt 4.5.2.4.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $f^{2}$ aus $f^{3}$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \cdot 1}{f^{2} f}}$

Schritt 4.5.2.4.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} \cdot 1}{f^{2} f}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{f})}^{2} \frac{1}{f}}$

Schritt 4.5.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{1}{f} \sqrt{\frac{1}{f}}$

Schritt 4.5.2.4.3

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{f}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{f}}$ um.

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{f}}$

Schritt 4.5.2.4.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{1}{\sqrt{f}}$

Schritt 4.5.2.4.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{f}}$ mit $\frac{\sqrt{f}}{\sqrt{f}}$ .

$x = \pm \frac{1}{f} (\frac{1}{\sqrt{f}} \cdot \frac{\sqrt{f}}{\sqrt{f}})$

Schritt 4.5.2.4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.2.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{f}}$ mit $\frac{\sqrt{f}}{\sqrt{f}}$ .

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{\sqrt{f} \sqrt{f}}$

Schritt 4.5.2.4.6.2

Potenziere $\sqrt{f}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{{\sqrt{f}}^{1} \sqrt{f}}$

Schritt 4.5.2.4.6.3

Potenziere $\sqrt{f}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{{\sqrt{f}}^{1} {\sqrt{f}}^{1}}$

Schritt 4.5.2.4.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{{\sqrt{f}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5.2.4.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{{\sqrt{f}}^{2}}$

Schritt 4.5.2.4.6.6

Schreibe ${\sqrt{f}}^{2}$ als $f$ um.

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Schritt 4.5.2.4.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{f}$ als $f^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{{(f^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.2.4.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{f^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.2.4.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{f^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.2.4.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.2.4.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{f^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.2.4.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{f^{1}}$

Schritt 4.5.2.4.6.6.5

Vereinfache.

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{f}$

Schritt 4.5.2.4.7

Multipliziere $\frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{f}$ .

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Schritt 4.5.2.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{f}$ mit $\frac{\sqrt{f}}{f}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{f}}{f \cdot f}$

Schritt 4.5.2.4.7.2

Potenziere $f$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{f}}{f^{1} f}$

Schritt 4.5.2.4.7.3

Potenziere $f$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{f}}{f^{1} f^{1}}$

Schritt 4.5.2.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{f}}{f^{1 + 1}}$

Schritt 4.5.2.4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

Schritt 4.5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

Schritt 4.5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

Schritt 4.5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

$x = - \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

$x = \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

$x = - \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

$x = \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

$x = - \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

$x = \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

$x = - \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (1 - f^{3} x^{2}) = 0$ wahr machen.

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

$x = - \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

$x = - \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$