Analysis Beispiele

$8 x - 2 x^{2} - x^{3} = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$8 u - 2 u^{2} - u^{3} = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u$ aus $8 u - 2 u^{2} - u^{3}$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $u$ aus $8 u$ heraus.

$u \cdot 8 - 2 u^{2} - u^{3} = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- 2 u^{2}$ heraus.

$u \cdot 8 + u (- 2 u) - u^{3} = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $u$ aus $- u^{3}$ heraus.

$u \cdot 8 + u (- 2 u) + u (- u^{2}) = 0$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 8 + u (- 2 u)$ heraus.

$u \cdot (8 - 2 u) + u (- u^{2}) = 0$

Schritt 1.2.5

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot (8 - 2 u) + u (- u^{2})$ heraus.

$u (8 - 2 u - u^{2}) = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $8$ um als $9$ plus $- 1$

$u (9 - 1 - 2 u - u^{2}) = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$u (9 - (1^{2} + 2 u + u^{2})) = 0$

Schritt 1.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot 1 \cdot u$

Schritt 1.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$u (9 - (1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2})) = 0$

Schritt 1.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 1$ und $b = u$ .

$u (9 - {(1 + u)}^{2}) = 0$

Schritt 1.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$u (3^{2} - {(1 + u)}^{2}) = 0$

Schritt 1.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = 1 + u$ .

$u ((3 + 1 + u) (3 - (1 + u))) = 0$

Schritt 1.7

Faktorisiere.

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Schritt 1.7.1

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1.1

Entferne unnötige Klammern.

$u ((3 + 1 + u) (3 - (1 + u))) = 0$

Schritt 1.7.1.2

Addiere $3$ und $1$ .

$u ((4 + u) (3 - (1 + u))) = 0$

Schritt 1.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$u ((4 + u) (3 - 1 \cdot 1 - u)) = 0$

Schritt 1.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u ((4 + u) (3 - 1 - u)) = 0$

Schritt 1.7.1.5

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$u ((4 + u) (2 - u)) = 0$

Schritt 1.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$u (4 + u) (2 - u) = 0$

Schritt 1.8

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$x (4 + x) (2 - x) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$4 + x = 0$

$2 - x = 0$

Schritt 3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Setze $4 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $4 + x$ gleich $0$ .

$4 + x = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 5

Setze $2 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 - x$ gleich $0$ .

$2 - x = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (4 + x) (2 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 4, 2$