Analysis Beispiele

$y = \ln ({(\frac{x^{2}}{5 x^{4} - 1})}^{3})$

Schritt 1

Multipliziere die Gleichung mit $5 x^{4} - 1$ .

$(5 x^{4} - 1) (y) = (\ln ({(\frac{x^{2}}{5 x^{4} - 1})}^{3})) (5 x^{4} - 1)$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $(5 x^{4} - 1) (y)$ .

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{4} y - 1 y = (\ln ({(\frac{x^{2}}{5 x^{4} - 1})}^{3})) (5 x^{4} - 1)$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$5 x^{4} y - y = (\ln ({(\frac{x^{2}}{5 x^{4} - 1})}^{3})) (5 x^{4} - 1)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $(\ln ({(\frac{x^{2}}{5 x^{4} - 1})}^{3})) (5 x^{4} - 1)$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{2}}{5 x^{4} - 1}$ an.

$5 x^{4} y - y = \ln (\frac{{(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}}) (5 x^{4} - 1)$

Schritt 3.1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 3.1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{4} y - y = \ln (\frac{x^{2 \cdot 3}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}}) (5 x^{4} - 1)$

Schritt 3.1.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$5 x^{4} y - y = \ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}}) (5 x^{4} - 1)$

Schritt 3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{4} y - y = \ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}}) (5 x^{4}) + \ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}}) \cdot - 1$

Schritt 3.1.1.4

Stelle um.

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Schritt 3.1.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{4} y - y = 5 \ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}}) x^{4} + \ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}}) \cdot - 1$

Schritt 3.1.1.4.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}})$ .

$5 x^{4} y - y = 5 \ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}}) x^{4} - 1 \cdot \ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}})$

Schritt 3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache $5 \ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}})$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$5 x^{4} y - y = \ln ({(\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}})}^{5}) x^{4} - 1 \cdot \ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}})$

Schritt 3.1.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}}$ an.

$5 x^{4} y - y = \ln (\frac{{(x^{6})}^{5}}{{({(5 x^{4} - 1)}^{3})}^{5}}) x^{4} - 1 \cdot \ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}})$

Schritt 3.1.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{6})}^{5}$ .

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Schritt 3.1.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{4} y - y = \ln (\frac{x^{6 \cdot 5}}{{({(5 x^{4} - 1)}^{3})}^{5}}) x^{4} - 1 \cdot \ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}})$

Schritt 3.1.2.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$5 x^{4} y - y = \ln (\frac{x^{30}}{{({(5 x^{4} - 1)}^{3})}^{5}}) x^{4} - 1 \cdot \ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}})$

Schritt 3.1.2.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 x^{4} - 1)}^{3})}^{5}$ .

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Schritt 3.1.2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{4} y - y = \ln (\frac{x^{30}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3 \cdot 5}}) x^{4} - 1 \cdot \ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}})$

Schritt 3.1.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$5 x^{4} y - y = \ln (\frac{x^{30}}{{(5 x^{4} - 1)}^{15}}) x^{4} - 1 \cdot \ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}})$

Schritt 3.1.2.5

Schreibe $- 1 \ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}})$ als $- \ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}})$ um.

$5 x^{4} y - y = \ln (\frac{x^{30}}{{(5 x^{4} - 1)}^{15}}) x^{4} - \ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}})$

Schritt 3.1.3

Stelle die Faktoren in $\ln (\frac{x^{30}}{{(5 x^{4} - 1)}^{15}}) x^{4} - \ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}})$ um.

$5 x^{4} y - y = x^{4} \ln (\frac{x^{30}}{{(5 x^{4} - 1)}^{15}}) - \ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}})$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- x^{4} \ln (\frac{x^{30}}{{(5 x^{4} - 1)}^{15}}) + \ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}}) = - 5 x^{4} y + y$

Schritt 5

Schreibe die Gleichung als $\ln ({(\frac{x^{2}}{5 x^{4} - 1})}^{3}) = y$ um.

$\ln ({(\frac{x^{2}}{5 x^{4} - 1})}^{3}) = y$

Schritt 6

Vereinfache $\ln ({(\frac{x^{2}}{5 x^{4} - 1})}^{3})$ .

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Schritt 6.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{2}}{5 x^{4} - 1}$ an.

$\ln (\frac{{(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}}) = y$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{x^{2 \cdot 3}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}}) = y$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\ln (\frac{x^{6}}{{(5 x^{4} - 1)}^{3}}) = y$