Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} - 1 - 3 x}{x^{2}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{3 x} - 1 - 3 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{3 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{3 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{e^{3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - 3 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 3 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.7.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} - 1 - 3 x}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x} - 1 - 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x} - 1 - 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{3 x} - 1 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 1.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} + 0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 1.3.5.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} + 0 - 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} + 0 - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.5.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} + 0 - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.6

Addiere $3 e^{3 x}$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} - 3}{2 x}$

Schritt 2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} - 3}{x}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 e^{3 x} - 3}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 e^{3 x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.1.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} e^{3 x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 e^{lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.1.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 e^{3 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 e^{3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.3.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} - 3}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} - 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} - 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 e^{3 x} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

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Schritt 3.3.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{3 x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot 3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{3 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.5

Addiere $9 e^{3 x}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{3 x}}{1}$

Schritt 3.4

Dividiere $9 e^{3 x}$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 9 e^{3 x}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot 9 lim_{x \to 0} e^{3 x}$

Schritt 4.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot 9 e^{lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 4.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot 9 e^{3 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 e^{3 \cdot 0}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $9$ .

$\frac{9}{2} e^{3 \cdot 0}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{9}{2} e^{0}$

Schritt 6.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{9}{2} \cdot 1$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $1$ .

$\frac{9}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{9}{2}$

Dezimalform:

$4.5$