Analysis Beispiele

tan (2 x) = 1

$\tan (2 x) = 1$

Schritt 1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

2 x = arctan (1)

$2 x = \arctan (1)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Der genau Wert von

arctan (1)

$\arctan (1)$ ist

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

2 x = \frac{π}{4}

$2 x = \frac{π}{4}$

2 x = \frac{π}{4}

$2 x = \frac{π}{4}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in

2 x = \frac{π}{4}

$2 x = \frac{π}{4}$ durch

2

$2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in

2 x = \frac{π}{4}

$2 x = \frac{π}{4}$ durch

2

$2$ .

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere

$\frac{π}{4}$ mit

$\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere

$4$ mit

$2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Schritt 4

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von

$π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$2 x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 5

Löse nach

$x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

$π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{4}{4}$ .

$2 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 5.1.2

Kombiniere

$π$ und

$\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 5.1.4

Addiere

$π \cdot 4$ und

$π$ .

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Schritt 5.1.4.1

Stelle

$π$ und

$4$ um.

$2 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 5.1.4.2

Addiere

$4 \cdot π$ und

$π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in

$2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ durch

$2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in

$2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ durch

$2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1

Mutltipliziere

$\frac{5 π}{4}$ mit

$\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Schritt 5.2.3.2.2

Mutltipliziere

$4$ mit

$2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von

$\tan (2 x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze

$b$ durch

$2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 2 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$2$ ist

$2$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 7

Die Periode der Funktion

$\tan (2 x)$ ist

$\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle

$\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl

$n$