Analysis Beispiele

$x + 2 = \sqrt{2 x - 9} + 4$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{2 x - 9} + 4 = x + 2$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{2 x - 9}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2 x - 9} = x + 2 - 4$

Schritt 2.2

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$\sqrt{2 x - 9} = x - 2$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 x - 9}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x - 9}$ als ${(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${({(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x - 9)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache.

$2 x - 9 = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$2 x - 9 = (x - 2) (x - 2)$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 9 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Schritt 4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 9 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Schritt 4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 9 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x - 9 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 4.3.1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x - 9 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$2 x - 9 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Schritt 4.3.1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$2 x - 9 = x^{2} - 4 x + 4$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 4 x + 4 = 2 x - 9$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 x + 4 - 2 x = - 9$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 4 x$ .

$x^{2} - 6 x + 4 = - 9$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 6 x + 4 + 9 = 0$

Schritt 5.3.2

Addiere $4$ und $9$ .

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$

Schritt 5.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 6$ und $c = 13$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Schritt 5.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.3

Subtrahiere $52$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$