Analysis Beispiele

$\ln (x - 3) - \ln (x - 4) - \ln (x) = \ln (3)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 3}{x - 4}) - \ln (x) = \ln (3)$

Schritt 1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 3}{x - 4}}{x}) = \ln (3)$

Schritt 1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (\frac{x - 3}{x - 4} \cdot \frac{1}{x}) = \ln (3)$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $\frac{x - 3}{x - 4}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\ln (\frac{x - 3}{(x - 4) x}) = \ln (3)$

Schritt 1.5

Stelle die Faktoren in $\ln (\frac{x - 3}{(x - 4) x})$ um.

$\ln (\frac{x - 3}{x (x - 4)}) = \ln (3)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$\frac{x - 3}{x (x - 4)} = 3$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x (x - 4), 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x (x - 4)$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{x - 3}{x (x - 4)} = 3$ mit $x (x - 4)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x - 3}{x (x - 4)} = 3$ mit $x (x - 4)$ .

$\frac{x - 3}{x (x - 4)} (x (x - 4)) = 3 (x (x - 4))$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x (x - 4)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 3}{x (x - 4)} (x (x - 4)) = 3 (x (x - 4))$

Schritt 3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x - 3 = 3 (x (x - 4))$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 3 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 4)$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x - 3 = 3 (x^{2} + x \cdot - 4)$

Schritt 3.2.3.2.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$x - 3 = 3 (x^{2} - 4 \cdot x)$

Schritt 3.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 3 = 3 x^{2} + 3 (- 4 x)$

Schritt 3.2.3.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x - 3 = 3 x^{2} - 12 x$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$3 x^{2} - 12 x = x - 3$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} - 12 x - x = - 3$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $x$ von $- 12 x$ .

$3 x^{2} - 13 x = - 3$

Schritt 3.3.3

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} - 13 x + 3 = 0$

Schritt 3.3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3.5

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 13$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.6.1.1

Potenziere $- 13$ mit $2$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Schritt 3.3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $3$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 36}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.6.1.3

Subtrahiere $36$ von $169$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{133}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{133}}{6}$

Schritt 3.3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{13 + \sqrt{133}}{6}, \frac{13 - \sqrt{133}}{6}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x - 3) - \ln (x - 4) - \ln (x) = \ln (3)$ nicht erfüllen.

$x = \frac{13 + \sqrt{133}}{6}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{13 + \sqrt{133}}{6}$

Dezimalform:

$x = 4.08876043 \dots$