Analysis Beispiele

$\log (x + 3) + \log (4) = 2 \log (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 3) \cdot 4) = 2 \log (x)$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot 4 + 3 \cdot 4) = 2 \log (x)$

Schritt 1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log (4 \cdot x + 3 \cdot 4) = 2 \log (x)$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\log (4 x + 12) = 2 \log (x)$

Schritt 2

Vereinfache $2 \log (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (4 x + 12) = \log (x^{2})$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$4 x + 12 = x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x + 12 - x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $4 x + 12 - x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 4.2.1.1.1

Bewege $12$ .

$4 x - x^{2} + 12 = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Stelle $4 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + 4 x + 12 = 0$

Schritt 4.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 4 x + 12 = 0$

Schritt 4.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $4 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 4 x) + 12 = 0$

Schritt 4.2.1.4

Schreibe $12$ als $- 1 (- 12)$ um.

$- (x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Schritt 4.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 4 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 4 x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Schritt 4.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 4 x) - 1 (- 12)$ heraus.

$- (x^{2} - 4 x - 12) = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 4 x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 6, 2$

Schritt 4.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 6) (x + 2)) = 0$

Schritt 4.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 6) (x + 2) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 4.4

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 4.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 6) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 2$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\log (x + 3) + \log (4) = 2 \log (x)$ nicht erfüllen.

$x = 6$