Analysis Beispiele

$\sin (x) = \frac{- 2 + \sqrt{20}}{4 \sqrt{2}}$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{- 2 + \sqrt{20}}{4 \sqrt{2}}$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\sin (x) = \frac{- 2 + \sqrt{4 (5)}}{4 \sqrt{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sin (x) = \frac{- 2 + \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{4 \sqrt{2}}$

Schritt 1.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sin (x) = \frac{- 2 + 2 \sqrt{5}}{4 \sqrt{2}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 + 2 \sqrt{5}$ und $4$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\sin (x) = \frac{2 \cdot - 1 + 2 \sqrt{5}}{4 \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{5}$ heraus.

$\sin (x) = \frac{2 \cdot - 1 + 2 (\sqrt{5})}{4 \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 1 + 2 (\sqrt{5})$ heraus.

$\sin (x) = \frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{5})}{4 \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$\sin (x) = \frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{5})}{2 (2 \sqrt{2})}$

Schritt 1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = \frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{5})}{2 (2 \sqrt{2})}$

Schritt 1.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 1.4.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 1.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 1.4.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 1.4.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Schritt 1.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{4}$

Schritt 1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) = \frac{- 1 \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{2}}{4}$

Schritt 1.7

Schreibe $- 1 \sqrt{2}$ als $- \sqrt{2}$ um.

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{2}}{4}$

Schritt 1.8

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{5 \cdot 2}}{4}$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{4}$

Schritt 1.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{2}$ heraus.

$\sin (x) = \frac{- (\sqrt{2}) + \sqrt{10}}{4}$

Schritt 1.11

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{10}$ heraus.

$\sin (x) = \frac{- (\sqrt{2}) - 1 (- \sqrt{10})}{4}$

Schritt 1.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sqrt{2}) - 1 (- \sqrt{10})$ heraus.

$\sin (x) = \frac{- (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{4}$

Schritt 1.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.13.1

Schreibe $- (\sqrt{2} - \sqrt{10})$ als $- 1 (\sqrt{2} - \sqrt{10})$ um.

$\sin (x) = \frac{- 1 (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{4}$

Schritt 1.13.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4}$

Schritt 2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Berechne $\arcsin (- \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4})$ .

$x = 0.45227844$

Schritt 4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 0.45227844 + 3.14159265$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) - 0.45227844 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.45227844 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 5.2

Der resultierende Winkel von $2.6893142$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) - 0.45227844 + 3.14159265$ .

$x = 2.6893142$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.45227844 + 2 π n, 2.6893142 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$