Analysis Beispiele

$6 x e^{x y} = 5$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (6 x e^{x y}) = \frac{d}{d x} (5)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x e^{x y}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x y}$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$6 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$6 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$6 (x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$6 (x (e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 (x (e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y)) + e^{x y} \cdot 1)$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $e^{x y}$ mit $1$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y)) + e^{x y})$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (x (e^{x y} (x y') + e^{x y} y) + e^{x y})$

Schritt 2.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (x (e^{x y} (x y')) + x (e^{x y} y) + e^{x y})$

Schritt 2.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (x (e^{x y} (x y'))) + 6 (x (e^{x y} y)) + 6 e^{x y}$

Schritt 2.10.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.10.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 (x^{1} x (e^{x y} (y'))) + 6 (x (e^{x y} y)) + 6 e^{x y}$

Schritt 2.10.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 (x^{1} x^{1} (e^{x y} (y'))) + 6 (x (e^{x y} y)) + 6 e^{x y}$

Schritt 2.10.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 (x^{1 + 1} (e^{x y} (y'))) + 6 (x (e^{x y} y)) + 6 e^{x y}$

Schritt 2.10.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$6 x^{2} (e^{x y} (y')) + 6 x (e^{x y} y) + 6 e^{x y}$

Schritt 2.10.5

Stelle die Terme um.

$6 e^{x y} x^{2} y' + 6 e^{x y} x y + 6 e^{x y}$

Schritt 3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$6 e^{x y} x^{2} y' + 6 e^{x y} x y + 6 e^{x y} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $6 e^{x y} x^{2} y' + 6 e^{x y} x y + 6 e^{x y}$ um.

$6 x^{2} y' e^{x y} + 6 x y e^{x y} + 6 e^{x y} = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $6 x y e^{x y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{2} y' e^{x y} + 6 e^{x y} = - 6 x y e^{x y}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $6 e^{x y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{2} y' e^{x y} = - 6 x y e^{x y} - 6 e^{x y}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $6 x^{2} y' e^{x y} = - 6 x y e^{x y} - 6 e^{x y}$ durch $6 x^{2} e^{x y}$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x^{2} y' e^{x y} = - 6 x y e^{x y} - 6 e^{x y}$ durch $6 x^{2} e^{x y}$ .

$\frac{6 x^{2} y' e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x^{2} y' e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} y' e^{x y}}{x^{2} e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y' e^{x y}}{x^{2} e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x y}$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $6$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x y e^{x y}$ heraus.

$y' = \frac{6 (- x y e^{x y})}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} e^{x y}$ heraus.

$y' = \frac{6 (- x y e^{x y})}{6 (x^{2} e^{x y})} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{6 (- x y e^{x y})}{6 (x^{2} e^{x y})} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- x y e^{x y}}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- x y e^{x y}$ heraus.

$y' = \frac{x (- y e^{x y})}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} e^{x y}$ heraus.

$y' = \frac{x (- y e^{x y})}{x (x e^{x y})} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Schritt 5.3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x (- y e^{x y})}{x (x e^{x y})} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Schritt 5.3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x y}$ .

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Schritt 5.3.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Schritt 5.3.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y}{x} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Schritt 5.3.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Schritt 5.3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $6$ .

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Schritt 5.3.3.1.5.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 e^{x y}$ heraus.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{6 (- e^{x y})}{6 x^{2} e^{x y}}$

Schritt 5.3.3.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.5.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} e^{x y}$ heraus.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{6 (- e^{x y})}{6 (x^{2} e^{x y})}$

Schritt 5.3.3.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{6 (- e^{x y})}{6 (x^{2} e^{x y})}$

Schritt 5.3.3.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- e^{x y}}{x^{2} e^{x y}}$

Schritt 5.3.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x y}$ .

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Schritt 5.3.3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- e^{x y}}{x^{2} e^{x y}}$

Schritt 5.3.3.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 1}{x^{2}}$

Schritt 5.3.3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - \frac{1}{x^{2}}$