Analysis Beispiele

$- \frac{2 k}{x^{3}} + \frac{16 k}{{(12 - x)}^{3}}$

Schritt 1

Um $- \frac{2 k}{x^{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(12 - x)}^{3}}{{(12 - x)}^{3}}$ .

$- \frac{2 k}{x^{3}} \cdot \frac{{(12 - x)}^{3}}{{(12 - x)}^{3}} + \frac{16 k}{{(12 - x)}^{3}}$

Schritt 2

Um $\frac{16 k}{{(12 - x)}^{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$- \frac{2 k}{x^{3}} \cdot \frac{{(12 - x)}^{3}}{{(12 - x)}^{3}} + \frac{16 k}{{(12 - x)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x^{3} {(12 - x)}^{3}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{2 k}{x^{3}}$ mit $\frac{{(12 - x)}^{3}}{{(12 - x)}^{3}}$ .

$- \frac{2 k {(12 - x)}^{3}}{x^{3} {(12 - x)}^{3}} + \frac{16 k}{{(12 - x)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{16 k}{{(12 - x)}^{3}}$ mit $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$- \frac{2 k {(12 - x)}^{3}}{x^{3} {(12 - x)}^{3}} + \frac{16 k x^{3}}{{(12 - x)}^{3} x^{3}}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von ${(12 - x)}^{3} x^{3}$ um.

$- \frac{2 k {(12 - x)}^{3}}{x^{3} {(12 - x)}^{3}} + \frac{16 k x^{3}}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 k {(12 - x)}^{3} + 16 k x^{3}}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Faktorisiere $2 k$ aus $- 2 k {(12 - x)}^{3} + 16 k x^{3}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Faktorisiere $2 k$ aus $- 2 k {(12 - x)}^{3}$ heraus.

$\frac{2 k (- {(12 - x)}^{3}) + 16 k x^{3}}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $2 k$ aus $16 k x^{3}$ heraus.

$\frac{2 k (- {(12 - x)}^{3}) + 2 k (8 x^{3})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $2 k$ aus $2 k (- {(12 - x)}^{3}) + 2 k (8 x^{3})$ heraus.

$\frac{2 k (- {(12 - x)}^{3} + 8 x^{3})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.2

Schreibe $- {(12 - x)}^{3}$ als ${(- (12 - x))}^{3}$ um.

$\frac{2 k ({(- (12 - x))}^{3} + 8 x^{3})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.3

Schreibe $8 x^{3}$ als ${(2 x)}^{3}$ um.

$\frac{2 k ({(- (12 - x))}^{3} + {(2 x)}^{3})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = - (12 - x)$ und $b = 2 x$ .

$\frac{2 k ((- (12 - x) + 2 x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 k ((- 1 \cdot 12 - - x + 2 x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$\frac{2 k ((- 12 - - x + 2 x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.5.3

Multipliziere $- - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 k ((- 12 + 1 x + 2 x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.5.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 k ((- 12 + x + 2 x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.5.4

Addiere $x$ und $2 x$ .

$\frac{2 k ((- 12 + 3 x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.5.5

Faktorisiere $3$ aus $- 12 + 3 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$\frac{2 k ((3 \cdot - 4 + 3 x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.5.5.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot - 4 + 3 x$ heraus.

$\frac{2 k (3 (- 4 + x) ({(- (12 - x))}^{2} - - (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.5.6

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 k (3 (- 4 + x) ({(- (12 - x))}^{2} + 1 (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.5.6.2

Mutltipliziere $12 - x$ mit $1$ .

$\frac{2 k (3 (- 4 + x) ({(- (12 - x))}^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

$\frac{2 k \cdot 3 (- 4 + x) ({(- (12 - x))}^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) ({(- (12 - x))}^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.7

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 k (- 4 + x) ({(- 1 \cdot 12 - - x)}^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) ({(- 12 - - x)}^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.7.3

Multipliziere $- - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) ({(- 12 + 1 x)}^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.7.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) ({(- 12 + x)}^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.7.4

Schreibe ${(- 12 + x)}^{2}$ als $(- 12 + x) (- 12 + x)$ um.

$\frac{6 k (- 4 + x) ((- 12 + x) (- 12 + x) + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.7.5

Multipliziere $(- 12 + x) (- 12 + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 k (- 4 + x) (- 12 (- 12 + x) + x (- 12 + x) + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.7.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 k (- 4 + x) (- 12 \cdot - 12 - 12 x + x (- 12 + x) + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.7.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 k (- 4 + x) (- 12 \cdot - 12 - 12 x + x \cdot - 12 + x \cdot x + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.7.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.6.1.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 12$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 12 x + x \cdot - 12 + x \cdot x + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.7.6.1.2

Bringe $- 12$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 12 x - 12 \cdot x + x \cdot x + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.7.6.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 12 x - 12 x + x^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.7.6.2

Subtrahiere $12 x$ von $- 12 x$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + (12 - x) (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.7.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 12 (2 x) - x (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.7.8

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 24 x - x (2 x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.7.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 24 x - 1 \cdot 2 x \cdot x + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.7.10

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.10.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.10.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 24 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x) + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.7.10.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 24 x - 1 \cdot 2 x^{2} + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.7.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 24 x - 2 x^{2} + {(2 x)}^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.7.11

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 24 x - 2 x^{2} + 2^{2} x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.7.12

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - 24 x + x^{2} + 24 x - 2 x^{2} + 4 x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.8

Addiere $- 24 x$ und $24 x$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 + x^{2} + 0 x - 2 x^{2} + 4 x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.9

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 + x^{2} + 0 - 2 x^{2} + 4 x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.10

Addiere $144 + x^{2}$ und $0$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 + x^{2} - 2 x^{2} + 4 x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.11

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 - x^{2} + 4 x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.12

Addiere $- x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$\frac{6 k (- 4 + x) (144 + 3 x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.13

Faktorisiere $3$ aus $144 + 3 x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.13.1

Faktorisiere $3$ aus $144$ heraus.

$\frac{6 k (- 4 + x) (3 \cdot 48 + 3 x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.13.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 48 + 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{6 k (- 4 + x) (3 (48 + x^{2}))}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

$\frac{6 k (- 4 + x) \cdot 3 (48 + x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 5.14

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{18 k (- 4 + x) (48 + x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$\frac{18 k (- 1 (4) + x) (48 + x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{18 k (- 1 (4) - 1 (- x)) (48 + x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (4) - 1 (- x)$ heraus.

$\frac{18 k (- 1 (4 - x)) (48 + x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$

Schritt 6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{((18 k) (4 - x)) (48 + x^{2})}{x^{3} {(12 - x)}^{3}}$