Analysis Beispiele

$\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - \frac{n (n + 1)}{6}$

Schritt 1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{n (n + 1) (2 n + 1) - n (n + 1)}{6}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(n \cdot n + n \cdot 1) (2 n + 1) - n (n + 1)}{6}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$\frac{(n^{2} + n \cdot 1) (2 n + 1) - n (n + 1)}{6}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$\frac{(n^{2} + n) (2 n + 1) - n (n + 1)}{6}$

Schritt 2.4

Multipliziere $(n^{2} + n) (2 n + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{n^{2} (2 n + 1) + n (2 n + 1) - n (n + 1)}{6}$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n + 1) - n (n + 1)}{6}$

Schritt 2.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Schritt 2.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 n^{2} n + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $n^{2}$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1.2.1

Bewege $n$ .

$\frac{2 (n \cdot n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $n$ mit $n^{2}$ .

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Schritt 2.5.1.2.2.1

Potenziere $n$ mit $1$ .

$\frac{2 (n^{1} n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Schritt 2.5.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 n^{1 + 2} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Schritt 2.5.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 n^{3} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $n^{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 n^{3} + n^{2} + n (2 n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 n^{3} + n^{2} + 2 n \cdot n + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Schritt 2.5.1.5

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1.5.1

Bewege $n$ .

$\frac{2 n^{3} + n^{2} + 2 (n \cdot n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Schritt 2.5.1.5.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$\frac{2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Schritt 2.5.1.6

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$\frac{2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n - n (n + 1)}{6}$

Schritt 2.5.2

Addiere $n^{2}$ und $2 n^{2}$ .

$\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n - n (n + 1)}{6}$

Schritt 2.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n - n \cdot n - n \cdot 1}{6}$

Schritt 2.7

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.1

Bewege $n$ .

$\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n - (n \cdot n) - n \cdot 1}{6}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n - n^{2} - n \cdot 1}{6}$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n - n^{2} - n}{6}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 n^{3} + 3 n^{2} + n - n^{2} - n$ .

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $n$ von $n$ .

$\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} - n^{2} + 0}{6}$

Schritt 3.1.2

Addiere $2 n^{3} + 3 n^{2} - n^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} - n^{2}}{6}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $n^{2}$ von $3 n^{2}$ .

$\frac{2 n^{3} + 2 n^{2}}{6}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2 n^{2}$ aus $2 n^{3} + 2 n^{2}$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2 n^{2}$ aus $2 n^{3}$ heraus.

$\frac{2 n^{2} (n) + 2 n^{2}}{6}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $2 n^{2}$ aus $2 n^{2}$ heraus.

$\frac{2 n^{2} (n) + 2 n^{2} (1)}{6}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $2 n^{2}$ aus $2 n^{2} (n) + 2 n^{2} (1)$ heraus.

$\frac{2 n^{2} (n + 1)}{6}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 n^{2} (n + 1)$ heraus.

$\frac{2 (n^{2} (n + 1))}{6}$

Schritt 3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (n^{2} (n + 1))}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (n^{2} (n + 1))}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{n^{2} (n + 1)}{3}$