Analysis Beispiele

${(2 y + 1)}^{5}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${(2 y)}^{5} + 5 {(2 y)}^{4} \cdot 1 + 10 {(2 y)}^{3} \cdot 1^{2} + 10 {(2 y)}^{2} \cdot 1^{3} + 5 (2 y) \cdot 1^{4} + 1^{5}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$2^{5} y^{5} + 5 {(2 y)}^{4} \cdot 1 + 10 {(2 y)}^{3} \cdot 1^{2} + 10 {(2 y)}^{2} \cdot 1^{3} + 5 (2 y) \cdot 1^{4} + 1^{5}$

Schritt 2.2

Potenziere $2$ mit $5$ .

$32 y^{5} + 5 {(2 y)}^{4} \cdot 1 + 10 {(2 y)}^{3} \cdot 1^{2} + 10 {(2 y)}^{2} \cdot 1^{3} + 5 (2 y) \cdot 1^{4} + 1^{5}$

Schritt 2.3

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$32 y^{5} + 5 (2^{4} y^{4}) \cdot 1 + 10 {(2 y)}^{3} \cdot 1^{2} + 10 {(2 y)}^{2} \cdot 1^{3} + 5 (2 y) \cdot 1^{4} + 1^{5}$

Schritt 2.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$32 y^{5} + 5 (16 y^{4}) \cdot 1 + 10 {(2 y)}^{3} \cdot 1^{2} + 10 {(2 y)}^{2} \cdot 1^{3} + 5 (2 y) \cdot 1^{4} + 1^{5}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $16$ mit $5$ .

$32 y^{5} + 80 y^{4} \cdot 1 + 10 {(2 y)}^{3} \cdot 1^{2} + 10 {(2 y)}^{2} \cdot 1^{3} + 5 (2 y) \cdot 1^{4} + 1^{5}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $80$ mit $1$ .

$32 y^{5} + 80 y^{4} + 10 {(2 y)}^{3} \cdot 1^{2} + 10 {(2 y)}^{2} \cdot 1^{3} + 5 (2 y) \cdot 1^{4} + 1^{5}$

Schritt 2.7

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$32 y^{5} + 80 y^{4} + 10 (2^{3} y^{3}) \cdot 1^{2} + 10 {(2 y)}^{2} \cdot 1^{3} + 5 (2 y) \cdot 1^{4} + 1^{5}$

Schritt 2.8

Potenziere $2$ mit $3$ .

$32 y^{5} + 80 y^{4} + 10 (8 y^{3}) \cdot 1^{2} + 10 {(2 y)}^{2} \cdot 1^{3} + 5 (2 y) \cdot 1^{4} + 1^{5}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $8$ mit $10$ .

$32 y^{5} + 80 y^{4} + 80 y^{3} \cdot 1^{2} + 10 {(2 y)}^{2} \cdot 1^{3} + 5 (2 y) \cdot 1^{4} + 1^{5}$

Schritt 2.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$32 y^{5} + 80 y^{4} + 80 y^{3} \cdot 1 + 10 {(2 y)}^{2} \cdot 1^{3} + 5 (2 y) \cdot 1^{4} + 1^{5}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $80$ mit $1$ .

$32 y^{5} + 80 y^{4} + 80 y^{3} + 10 {(2 y)}^{2} \cdot 1^{3} + 5 (2 y) \cdot 1^{4} + 1^{5}$

Schritt 2.12

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$32 y^{5} + 80 y^{4} + 80 y^{3} + 10 (2^{2} y^{2}) \cdot 1^{3} + 5 (2 y) \cdot 1^{4} + 1^{5}$

Schritt 2.13

Potenziere $2$ mit $2$ .

$32 y^{5} + 80 y^{4} + 80 y^{3} + 10 (4 y^{2}) \cdot 1^{3} + 5 (2 y) \cdot 1^{4} + 1^{5}$

Schritt 2.14

Mutltipliziere $4$ mit $10$ .

$32 y^{5} + 80 y^{4} + 80 y^{3} + 40 y^{2} \cdot 1^{3} + 5 (2 y) \cdot 1^{4} + 1^{5}$

Schritt 2.15

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$32 y^{5} + 80 y^{4} + 80 y^{3} + 40 y^{2} \cdot 1 + 5 (2 y) \cdot 1^{4} + 1^{5}$

Schritt 2.16

Mutltipliziere $40$ mit $1$ .

$32 y^{5} + 80 y^{4} + 80 y^{3} + 40 y^{2} + 5 (2 y) \cdot 1^{4} + 1^{5}$

Schritt 2.17

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$32 y^{5} + 80 y^{4} + 80 y^{3} + 40 y^{2} + 10 y \cdot 1^{4} + 1^{5}$

Schritt 2.18

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$32 y^{5} + 80 y^{4} + 80 y^{3} + 40 y^{2} + 10 y \cdot 1 + 1^{5}$

Schritt 2.19

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$32 y^{5} + 80 y^{4} + 80 y^{3} + 40 y^{2} + 10 y + 1^{5}$

Schritt 2.20

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$32 y^{5} + 80 y^{4} + 80 y^{3} + 40 y^{2} + 10 y + 1$