Analysis Beispiele

$\frac{1}{{(2 i)}^{3}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel auf $2 i$ an.

$\frac{1}{2^{3} i^{3}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Schritt 1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{8 i^{3}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$\frac{1}{8 (i^{2} \cdot i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Schritt 1.4

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{1}{8 (- 1 \cdot i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Schritt 1.5

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$\frac{1}{8 \cdot - 1 i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Schritt 1.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.6.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{1}{- (8 i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{- 8 i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{1}{- 8 i}$ mit der Konjugierten von $- 8 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$\frac{1}{- 8 i} \cdot \frac{i}{i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Schritt 3

Multipliziere.

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Schritt 3.1

Kombinieren.

$\frac{1 i}{- 8 i i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$\frac{i}{- 8 i i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Füge Klammern hinzu.

$\frac{i}{- 8 (i i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{i}{- 8 (i^{1} i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Schritt 3.3.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{i}{- 8 (i^{1} i^{1})} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Schritt 3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{i}{- 8 i^{1 + 1}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Schritt 3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{i}{- 8 i^{2}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Schritt 3.3.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{i}{- 8 \cdot - 1} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Schritt 4

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$\frac{i}{8} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Schritt 5

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{i}{8} \cdot ({(e^{i x})}^{3} + 3 {(e^{i x})}^{2} (- e^{- i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{i x})}^{3}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{i x \cdot 3} + 3 {(e^{i x})}^{2} (- e^{- i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6.1.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i x$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} + 3 {(e^{i x})}^{2} (- e^{- i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} + 3 \cdot - 1 {(e^{i x})}^{2} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 {(e^{i x})}^{2} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{i x})}^{2}$ .

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Schritt 6.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x \cdot 2} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6.1.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i x$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{2 i x} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6.1.5

Multipliziere $e^{2 i x}$ mit $e^{- i x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.5.1

Bewege $e^{- i x}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 (e^{- i x} e^{2 i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{- i x + 2 i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6.1.5.3

Addiere $- i x$ und $2 i x$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{1 i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6.1.5.4

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6.1.6

Wende die Produktregel auf $- e^{- i x}$ an.

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} ({(- 1)}^{2} {(e^{- i x})}^{2}) + {(- e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} e^{i x} {(e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 \cdot 1 e^{i x} {(e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6.1.9

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} {(e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6.1.10

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- i x})}^{2}$ .

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Schritt 6.1.10.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} e^{- i x \cdot 2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6.1.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} e^{- 2 i x} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6.1.11

Multipliziere $e^{i x}$ mit $e^{- 2 i x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.11.1

Bewege $e^{- 2 i x}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 (e^{- 2 i x} e^{i x}) + {(- e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6.1.11.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- 2 i x + i x} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6.1.11.3

Addiere $- 2 i x$ und $i x$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6.1.12

Wende die Produktregel auf $- e^{- i x}$ an.

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} + {(- 1)}^{3} {(e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6.1.13

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} - {(e^{- i x})}^{3})$

Schritt 6.1.14

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- i x})}^{3}$ .

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Schritt 6.1.14.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} - e^{- i x \cdot 3})$

Schritt 6.1.14.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} - e^{- 3 i x})$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{i}{8} e^{3 i x} + \frac{i}{8} (- 3 e^{i x}) + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{i}{8}$ und $e^{3 i x}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{i}{8} (- 3 e^{i x}) + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Schritt 7.2

Multipliziere $\frac{i}{8} (- 3 e^{i x})$ .

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{i}{8}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i}{8} e^{i x} + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $\frac{- 3 i}{8}$ und $e^{i x}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Schritt 7.3

Multipliziere $\frac{i}{8} (3 e^{- i x})$ .

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{i}{8}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i}{8} e^{- i x} + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $\frac{3 i}{8}$ und $e^{- i x}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Schritt 7.4

Kombiniere $\frac{i}{8}$ und $e^{- 3 i x}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{i e^{3 i x}}{8} - \frac{3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Schritt 9

Bewege $i$ .

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Schritt 10

Stelle $i$ und $e^{3 x i}$ um.

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Schritt 11

Stelle $i$ und $x$ um.

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Schritt 12

Bewege $i$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Schritt 13

Bewege $i$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 i e^{- 1 x i}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Schritt 14

Bewege $i$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Schritt 15

Bewege $i$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{i e^{- 3 x i}}{8}$

Schritt 16

Stelle $i$ und $e^{- 3 x i}$ um.

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

Schritt 17

Stelle die Faktoren in $e^{3 x i} i$ um.

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

Schritt 18

Stelle die Faktoren in $3 e^{x i} i$ um.

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

Schritt 19

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 e^{- x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

Schritt 20

Stelle die Faktoren in $3 e^{- x i} i$ um.

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 i e^{- x i}}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

Schritt 21

Stelle die Faktoren in $e^{- 3 x i} i$ um.

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 i e^{- x i}}{8} - \frac{i e^{- 3 x i}}{8}$