Analysis Beispiele

$\frac{e - e^{- 1}}{e + e^{- 1}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e - \frac{1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Schritt 1.2

Um $e$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e}{e}$ .

$\frac{\frac{e e}{e} - \frac{1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{e e - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Schritt 1.4

Schreibe $\frac{e e - 1}{e}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.4.1

Multipliziere $e e$ .

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Schritt 1.4.1.2

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e^{1} - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Schritt 1.4.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{e^{1 + 1} - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Schritt 1.4.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Schritt 1.4.2

Schreibe $e^{2} - 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.4.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{\frac{e^{2} - 1^{2}}{e}}{e + e^{- 1}}$

Schritt 1.4.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e$ und $b = 1$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{e + e^{- 1}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{e + \frac{1}{e}}$

Schritt 2.2

Um $e$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e}{e}$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}}$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e e + 1}{e}}$

Schritt 2.4

Multipliziere $e e$ .

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Schritt 2.4.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{1} e + 1}{e}}$

Schritt 2.4.2

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{1} e^{1} + 1}{e}}$

Schritt 2.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{1 + 1} + 1}{e}}$

Schritt 2.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{2} + 1}{e}}$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e} \cdot \frac{e}{e^{2} + 1}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e} \cdot \frac{e}{e^{2} + 1}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$(e + 1) (e - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Schritt 5

Multipliziere $(e + 1) (e - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(e (e - 1) + 1 (e - 1)) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(e e + e \cdot - 1 + 1 (e - 1)) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere $e e$ .

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Schritt 6.1.1.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$(e^{1} e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Schritt 6.1.1.2

Potenziere $e$ mit $1$ .

$(e^{1} e^{1} + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Schritt 6.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(e^{1 + 1} + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Schritt 6.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(e^{2} + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Schritt 6.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e$ .

$(e^{2} - 1 \cdot e + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Schritt 6.1.3

Schreibe $- 1 e$ als $- e$ um.

$(e^{2} - e + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$(e^{2} - e + e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Schritt 6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(e^{2} - e + e - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Schritt 6.2

Addiere $- e$ und $e$ .

$(e^{2} + 0 - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Schritt 6.3

Addiere $e^{2}$ und $0$ .

$(e^{2} - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{2} \frac{1}{e^{2} + 1} - 1 \frac{1}{e^{2} + 1}$

Schritt 7.2

Kombiniere $e^{2}$ und $\frac{1}{e^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{2}}{e^{2} + 1} - 1 \frac{1}{e^{2} + 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Schreibe $- 1 \frac{1}{e^{2} + 1}$ als $- \frac{1}{e^{2} + 1}$ um.

$\frac{e^{2}}{e^{2} + 1} - \frac{1}{e^{2} + 1}$

Schritt 7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{2} - 1}{e^{2} + 1}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{e^{2} - 1^{2}}{e^{2} + 1}$

Schritt 8.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e$ und $b = 1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e^{2} + 1}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e^{2} + 1}$

Dezimalform:

$0.76159415 \dots$