Analysis Beispiele

$\frac{- e^{- t} \cos (2 t) - 2 e^{- t} \sin (2 t)}{- 2 e^{- 2 t} \sin (2 t) + 2 e^{- 2 t} \cos (2 t)}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $e^{- t}$ aus $- e^{- t} \cos (2 t) - 2 e^{- t} \sin (2 t)$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $e^{- t}$ aus $- e^{- t} \cos (2 t)$ heraus.

$\frac{e^{- t} (- 1 \cos (2 t)) - 2 e^{- t} \sin (2 t)}{- 2 e^{- 2 t} \sin (2 t) + 2 e^{- 2 t} \cos (2 t)}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $e^{- t}$ aus $- 2 e^{- t} \sin (2 t)$ heraus.

$\frac{e^{- t} (- 1 \cos (2 t)) + e^{- t} (- 2 \sin (2 t))}{- 2 e^{- 2 t} \sin (2 t) + 2 e^{- 2 t} \cos (2 t)}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $e^{- t}$ aus $e^{- t} (- 1 \cos (2 t)) + e^{- t} (- 2 \sin (2 t))$ heraus.

$\frac{e^{- t} (- 1 \cos (2 t) - 2 \sin (2 t))}{- 2 e^{- 2 t} \sin (2 t) + 2 e^{- 2 t} \cos (2 t)}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cos (2 t) - 2 \sin (2 t)$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cos (2 t)$ heraus.

$\frac{e^{- t} (- 1 (\cos (2 t)) - 2 \sin (2 t))}{- 2 e^{- 2 t} \sin (2 t) + 2 e^{- 2 t} \cos (2 t)}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \sin (2 t)$ heraus.

$\frac{e^{- t} (- 1 (\cos (2 t)) - (2 \sin (2 t)))}{- 2 e^{- 2 t} \sin (2 t) + 2 e^{- 2 t} \cos (2 t)}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (\cos (2 t)) - (2 \sin (2 t))$ heraus.

$\frac{e^{- t} (- 1 (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{- 2 e^{- 2 t} \sin (2 t) + 2 e^{- 2 t} \cos (2 t)}$

Schritt 1.2.4

Schreibe $- 1 (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))$ als $- (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))$ um.

$\frac{e^{- t} (- (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{- 2 e^{- 2 t} \sin (2 t) + 2 e^{- 2 t} \cos (2 t)}$

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{- 2 e^{- 2 t} \sin (2 t) + 2 e^{- 2 t} \cos (2 t)}$

Schritt 1.3

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- e^{- t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{- 2 e^{- 2 t} \sin (2 t) + 2 e^{- 2 t} \cos (2 t)}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2 e^{- 2 t}$ aus $- 2 e^{- 2 t} \sin (2 t) + 2 e^{- 2 t} \cos (2 t)$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2 e^{- 2 t}$ aus $- 2 e^{- 2 t} \sin (2 t)$ heraus.

$\frac{- e^{- t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{2 e^{- 2 t} (- 1 \sin (2 t)) + 2 e^{- 2 t} \cos (2 t)}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2 e^{- 2 t}$ aus $2 e^{- 2 t} \cos (2 t)$ heraus.

$\frac{- e^{- t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{2 e^{- 2 t} (- 1 \sin (2 t)) + 2 e^{- 2 t} (\cos (2 t))}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $2 e^{- 2 t}$ aus $2 e^{- 2 t} (- 1 \sin (2 t)) + 2 e^{- 2 t} (\cos (2 t))$ heraus.

$\frac{- e^{- t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{2 e^{- 2 t} (- 1 \sin (2 t) + \cos (2 t))}$

Schritt 2.2

Schreibe $- 1 \sin (2 t)$ als $- \sin (2 t)$ um.

$\frac{- e^{- t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{2 e^{- 2 t} (- \sin (2 t) + \cos (2 t))}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{- t}$ und $e^{- 2 t}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $e^{- 2 t}$ aus $- e^{- t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))$ heraus.

$\frac{e^{- 2 t} (- e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{2 e^{- 2 t} (- \sin (2 t) + \cos (2 t))}$

Schritt 3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $e^{- 2 t}$ aus $2 e^{- 2 t} (- \sin (2 t) + \cos (2 t))$ heraus.

$\frac{e^{- 2 t} (- e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{- 2 t} (2 (- \sin (2 t) + \cos (2 t)))}$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- 2 t} (- e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{- 2 t} (2 (- \sin (2 t) + \cos (2 t)))}$

Schritt 3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{2 (- \sin (2 t) + \cos (2 t))}$

Schritt 3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{2 (- \sin (2 t) + \cos (2 t))}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (2 t)$ heraus.

$- \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{2 (- (\sin (2 t)) + \cos (2 t))}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos (2 t)$ heraus.

$- \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{2 (- (\sin (2 t)) - 1 (- \cos (2 t)))}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin (2 t)) - 1 (- \cos (2 t))$ heraus.

$- \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{2 (- (\sin (2 t) - \cos (2 t)))}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Schreibe $- (\sin (2 t) - \cos (2 t))$ als $- 1 (\sin (2 t) - \cos (2 t))$ um.

$- \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{2 (- 1 (\sin (2 t) - \cos (2 t)))}$

Schritt 3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{2 (\sin (2 t) - \cos (2 t))}$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{2 (\sin (2 t) - \cos (2 t))}$

Schritt 3.6.4

Mutltipliziere $\frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{2 (\sin (2 t) - \cos (2 t))}$ mit $1$ .

$\frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{2 (\sin (2 t) - \cos (2 t))}$