Analysis Beispiele

$(\frac{1}{\sqrt{t + h}}) - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{t + h}}$ mit $\frac{\sqrt{t + h}}{\sqrt{t + h}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{t + h}} \cdot \frac{\sqrt{t + h}}{\sqrt{t + h}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Schritt 1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{t + h}}$ mit $\frac{\sqrt{t + h}}{\sqrt{t + h}}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{\sqrt{t + h} \sqrt{t + h}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Schritt 1.2.2

Potenziere $\sqrt{t + h}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{{\sqrt{t + h}}^{1} \sqrt{t + h}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Schritt 1.2.3

Potenziere $\sqrt{t + h}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{{\sqrt{t + h}}^{1} {\sqrt{t + h}}^{1}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Schritt 1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{t + h}}{{\sqrt{t + h}}^{1 + 1}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Schritt 1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{{\sqrt{t + h}}^{2}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Schritt 1.2.6

Schreibe ${\sqrt{t + h}}^{2}$ als $t + h$ um.

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Schritt 1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t + h}$ als ${(t + h)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{t + h}}{{({(t + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Schritt 1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{{(t + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Schritt 1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{{(t + h)}^{\frac{2}{2}}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Schritt 1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{t + h}}{{(t + h)}^{\frac{2}{2}}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Schritt 1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{t + h}}{{(t + h)}^{1}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Schritt 1.2.6.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{t}}$ mit $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - (\frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}})$

Schritt 1.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{t}}$ mit $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} \sqrt{t}}$

Schritt 1.4.2

Potenziere $\sqrt{t}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} \sqrt{t}}$

Schritt 1.4.3

Potenziere $\sqrt{t}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} {\sqrt{t}}^{1}}$

Schritt 1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{2}}$

Schritt 1.4.6

Schreibe ${\sqrt{t}}^{2}$ als $t$ um.

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Schritt 1.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{{(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{t^{1}}$

Schritt 1.4.6.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{t}$

Schritt 2

Um $\frac{\sqrt{t + h}}{t + h}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t}{t}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} \cdot \frac{t}{t} - \frac{\sqrt{t}}{t}$

Schritt 3

Um $- \frac{\sqrt{t}}{t}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t + h}{t + h}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} \cdot \frac{t}{t} - \frac{\sqrt{t}}{t} \cdot \frac{t + h}{t + h}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(t + h) t$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{t + h}}{t + h}$ mit $\frac{t}{t}$ .

$\frac{\sqrt{t + h} t}{(t + h) t} - \frac{\sqrt{t}}{t} \cdot \frac{t + h}{t + h}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{t}}{t}$ mit $\frac{t + h}{t + h}$ .

$\frac{\sqrt{t + h} t}{(t + h) t} - \frac{\sqrt{t} (t + h)}{t (t + h)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(t + h) t$ um.

$\frac{\sqrt{t + h} t}{t (t + h)} - \frac{\sqrt{t} (t + h)}{t (t + h)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{t + h} t - \sqrt{t} (t + h)}{t (t + h)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t + h}$ als ${(t + h)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - \sqrt{t} (t + h)}{t (t + h)}$

Schritt 6.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{1}{2}} (t + h)}{t (t + h)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Schritt 6.4

Multipliziere $t^{\frac{1}{2}}$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1

Bewege $t$ .

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - (t \cdot t^{\frac{1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $t$ mit $t^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.4.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Schritt 6.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{1 + \frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Schritt 6.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Schritt 6.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{2 + 1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Schritt 6.4.5

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Schritt 6.5

Schreibe ${(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $t^{\frac{1}{2}}$ aus ${(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h$ heraus.

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Schritt 6.5.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 6.5.1.1.1

Stelle $t$ und $h$ um.

$\frac{{(h + t)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Schritt 6.5.1.1.2

Stelle ${(h + t)}^{\frac{1}{2}}$ und $t$ um.

$\frac{t {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Schritt 6.5.1.1.3

Bewege $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}} - h t^{\frac{1}{2}}}{t (t + h)}$

Schritt 6.5.1.2

Faktorisiere $t^{\frac{1}{2}}$ aus $t {(h + t)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}}) - t^{\frac{3}{2}} - h t^{\frac{1}{2}}}{t (t + h)}$

Schritt 6.5.1.3

Faktorisiere $t^{\frac{1}{2}}$ aus $- t^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- t^{\frac{2}{2}}) - h t^{\frac{1}{2}}}{t (t + h)}$

Schritt 6.5.1.4

Faktorisiere $t^{\frac{1}{2}}$ aus $- h t^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- t^{\frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- h)}{t (t + h)}$

Schritt 6.5.1.5

Faktorisiere $t^{\frac{1}{2}}$ aus $t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- t^{\frac{2}{2}})$ heraus.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- h)}{t (t + h)}$

Schritt 6.5.1.6

Faktorisiere $t^{\frac{1}{2}}$ aus $t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- h)$ heraus.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2}} - h)}{t (t + h)}$

Schritt 6.5.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{1} - h)}{t (t + h)}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h)}{t (t + h)}$

Schritt 7

Bringe $t^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t (t + h) t^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 8

Multipliziere $t$ mit $t^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1

Bewege $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{- \frac{1}{2}} t (t + h)}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $t^{- \frac{1}{2}}$ mit $t$ .

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Schritt 8.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (t + h)}$

Schritt 8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{- \frac{1}{2} + 1} (t + h)}$

Schritt 8.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (t + h)}$

Schritt 8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (t + h)}$

Schritt 8.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{\frac{1}{2}} (t + h)}$