Analysis Beispiele

$f (z) = (4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (2 z^{3} - z)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ gleich $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ist mit $f (z) = 4 z^{4} + 2 z^{2} + 1$ und $g (z) = 2 z^{3} - z$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [2 z^{3} - z] + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 z^{3} - z$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [2 z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (\frac{d}{d z} [2 z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d z} [2 z^{3}]$ .

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $2 z^{3}$ nach $z$ gleich $2 \frac{d}{d z} [z^{3}]$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (2 \frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (2 (3 z^{2}) + \frac{d}{d z} [- z]) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} + \frac{d}{d z} [- z]) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d z} [- z]$ .

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Schritt 4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- z$ nach $z$ gleich $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - \frac{d}{d z} [z]) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1 \cdot 1) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Schritt 5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 z^{4} + 2 z^{2} + 1$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [4 z^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (\frac{d}{d z} [4 z^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Schritt 6

Berechne $\frac{d}{d z} [4 z^{4}]$ .

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Schritt 6.1

Da $4$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $4 z^{4}$ nach $z$ gleich $4 \frac{d}{d z} [z^{4}]$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (4 \frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (4 (4 z^{3}) + \frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + \frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Schritt 7

Berechne $\frac{d}{d z} [2 z^{2}]$ .

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Schritt 7.1

Da $2$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $2 z^{2}$ nach $z$ gleich $2 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 2 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 2 (2 z) + \frac{d}{d z} [1])$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z + \frac{d}{d z} [1])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 8.1

Da $1$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z + 0)$

Schritt 8.2

Addiere $16 z^{3} + 4 z$ und $0$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $1$ aus $(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$ heraus.

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Schritt 9.1.1

Faktorisiere $1$ aus $(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1)$ heraus.

$1 ((4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1)) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere $1$ aus $(2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$ heraus.

$1 ((4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1)) + 1 ((2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z))$

Schritt 9.1.3

Faktorisiere $1$ aus $1 ((4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1)) + 1 ((2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z))$ heraus.

$1 ((4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z))$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$ mit $1$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$

Schritt 9.3

Stelle die Terme um.

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Schritt 9.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.4.1

Multipliziere $(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$4 z^{4} (6 z^{2}) + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Schritt 9.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.4.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \cdot 6 z^{4} z^{2} + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Schritt 9.4.2.2

Multipliziere $z^{4}$ mit $z^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.4.2.2.1

Bewege $z^{2}$ .

$4 \cdot 6 (z^{2} z^{4}) + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Schritt 9.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \cdot 6 z^{2 + 4} + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Schritt 9.4.2.2.3

Addiere $2$ und $4$ .

$4 \cdot 6 z^{6} + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Schritt 9.4.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$24 z^{6} + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Schritt 9.4.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Schritt 9.4.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 2 \cdot 6 z^{2} z^{2} + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Schritt 9.4.2.6

Multipliziere $z^{2}$ mit $z^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.4.2.6.1

Bewege $z^{2}$ .

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 2 \cdot 6 (z^{2} z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Schritt 9.4.2.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 2 \cdot 6 z^{2 + 2} + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Schritt 9.4.2.6.3

Addiere $2$ und $2$ .

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 2 \cdot 6 z^{4} + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Schritt 9.4.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 12 z^{4} + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Schritt 9.4.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 12 z^{4} - 2 z^{2} + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Schritt 9.4.2.9

Mutltipliziere $6 z^{2}$ mit $1$ .

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 12 z^{4} - 2 z^{2} + 6 z^{2} + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Schritt 9.4.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 12 z^{4} - 2 z^{2} + 6 z^{2} - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Schritt 9.4.3

Addiere $- 4 z^{4}$ und $12 z^{4}$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} - 2 z^{2} + 6 z^{2} - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Schritt 9.4.4

Addiere $- 2 z^{2}$ und $6 z^{2}$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Schritt 9.4.5

Multipliziere $(16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 z^{3} (2 z^{3} - z) + 4 z (2 z^{3} - z)$

Schritt 9.4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 z^{3} (2 z^{3}) + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3} - z)$

Schritt 9.4.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 z^{3} (2 z^{3}) + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Schritt 9.4.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.4.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.4.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 \cdot 2 z^{3} z^{3} + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Schritt 9.4.6.1.2

Multipliziere $z^{3}$ mit $z^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.4.6.1.2.1

Bewege $z^{3}$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 \cdot 2 (z^{3} z^{3}) + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Schritt 9.4.6.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 \cdot 2 z^{3 + 3} + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Schritt 9.4.6.1.2.3

Addiere $3$ und $3$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 \cdot 2 z^{6} + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Schritt 9.4.6.1.3

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Schritt 9.4.6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 \cdot - 1 z^{3} z + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Schritt 9.4.6.1.5

Multipliziere $z^{3}$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.4.6.1.5.1

Bewege $z$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 \cdot - 1 (z \cdot z^{3}) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Schritt 9.4.6.1.5.2

Mutltipliziere $z$ mit $z^{3}$ .

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Schritt 9.4.6.1.5.2.1

Potenziere $z$ mit $1$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 \cdot - 1 (z^{1} z^{3}) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Schritt 9.4.6.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 \cdot - 1 z^{1 + 3} + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Schritt 9.4.6.1.5.3

Addiere $1$ und $3$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 \cdot - 1 z^{4} + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Schritt 9.4.6.1.6

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Schritt 9.4.6.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 \cdot 2 z \cdot z^{3} + 4 z (- z)$

Schritt 9.4.6.1.8

Multipliziere $z$ mit $z^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.4.6.1.8.1

Bewege $z^{3}$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 \cdot 2 (z^{3} z) + 4 z (- z)$

Schritt 9.4.6.1.8.2

Mutltipliziere $z^{3}$ mit $z$ .

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Schritt 9.4.6.1.8.2.1

Potenziere $z$ mit $1$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 \cdot 2 (z^{3} z^{1}) + 4 z (- z)$

Schritt 9.4.6.1.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 \cdot 2 z^{3 + 1} + 4 z (- z)$

Schritt 9.4.6.1.8.3

Addiere $3$ und $1$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 \cdot 2 z^{4} + 4 z (- z)$

Schritt 9.4.6.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 8 z^{4} + 4 z (- z)$

Schritt 9.4.6.1.10

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 8 z^{4} + 4 \cdot - 1 z \cdot z$

Schritt 9.4.6.1.11

Multipliziere $z$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.4.6.1.11.1

Bewege $z$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 8 z^{4} + 4 \cdot - 1 (z \cdot z)$

Schritt 9.4.6.1.11.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 8 z^{4} + 4 \cdot - 1 z^{2}$

Schritt 9.4.6.1.12

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 8 z^{4} - 4 z^{2}$

Schritt 9.4.6.2

Addiere $- 16 z^{4}$ und $8 z^{4}$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 8 z^{4} - 4 z^{2}$

Schritt 9.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 8 z^{4} - 4 z^{2}$ .

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Schritt 9.5.1

Subtrahiere $8 z^{4}$ von $8 z^{4}$ .

$24 z^{6} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 0 - 4 z^{2}$

Schritt 9.5.2

Addiere $24 z^{6} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6}$ und $0$ .

$24 z^{6} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 4 z^{2}$

Schritt 9.5.3

Subtrahiere $4 z^{2}$ von $4 z^{2}$ .

$24 z^{6} - 1 + 32 z^{6} + 0$

Schritt 9.5.4

Addiere $24 z^{6} - 1 + 32 z^{6}$ und $0$ .

$24 z^{6} - 1 + 32 z^{6}$

Schritt 9.6

Addiere $24 z^{6}$ und $32 z^{6}$ .

$56 z^{6} - 1$