Analysis Beispiele

$3 x^{5} - 9 x^{4} - 28 x^{3} + 84 x^{2} + 9 x - 27 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Gruppiere die Terme um.

$3 x^{5} - 28 x^{3} + 9 x - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{5} - 28 x^{3} + 9 x$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{5}$ heraus.

$x (3 x^{4}) - 28 x^{3} + 9 x - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 28 x^{3}$ heraus.

$x (3 x^{4}) + x (- 28 x^{2}) + 9 x - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $9 x$ heraus.

$x (3 x^{4}) + x (- 28 x^{2}) + x \cdot 9 - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x^{4}) + x (- 28 x^{2})$ heraus.

$x (3 x^{4} - 28 x^{2}) + x \cdot 9 - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1.2.5

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x^{4} - 28 x^{2}) + x \cdot 9$ heraus.

$x (3 x^{4} - 28 x^{2} + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x (3 {(x^{2})}^{2} - 28 x^{2} + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (3 u^{2} - 28 u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 9 = 27$ und deren Summe gleich $b = - 28$ ist.

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $- 28$ aus $- 28 u$ heraus.

$x (3 u^{2} - 28 u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1.5.1.2

Schreibe $- 28$ um als $- 1$ plus $- 27$

$x (3 u^{2} + (- 1 - 27) u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 u^{2} - 1 u - 27 u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x ((3 u^{2} - 1 u) - 27 u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (u (3 u - 1) - 9 (3 u - 1)) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u - 1$ .

$x ((3 u - 1) (u - 9)) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x ((3 x^{2} - 1) (x^{2} - 9)) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1.7

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x ((3 x^{2} - 1) (x^{2} - 3^{2})) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1.8

Faktorisiere.

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Schritt 1.8.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.8.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$x ((3 x^{2} - 1) ((x + 3) (x - 3))) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1.8.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$x ((3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3)) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1.8.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1.9

Faktorisiere $3$ aus $- 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27$ heraus.

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Schritt 1.9.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9 x^{4}$ heraus.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4}) + 84 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 1.9.2

Faktorisiere $3$ aus $84 x^{2}$ heraus.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4}) + 3 (28 x^{2}) - 27 = 0$

Schritt 1.9.3

Faktorisiere $3$ aus $- 27$ heraus.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4}) + 3 (28 x^{2}) + 3 (- 9) = 0$

Schritt 1.9.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 3 x^{4}) + 3 (28 x^{2})$ heraus.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4} + 28 x^{2}) + 3 (- 9) = 0$

Schritt 1.9.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 3 x^{4} + 28 x^{2}) + 3 (- 9)$ heraus.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4} + 28 x^{2} - 9) = 0$

Schritt 1.10

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 {(x^{2})}^{2} + 28 x^{2} - 9) = 0$

Schritt 1.11

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + 28 u - 9) = 0$

Schritt 1.12

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.12.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 3 \cdot - 9 = 27$ und deren Summe gleich $b = 28$ ist.

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Schritt 1.12.1.1

Faktorisiere $28$ aus $28 u$ heraus.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + 28 (u) - 9) = 0$

Schritt 1.12.1.2

Schreibe $28$ um als $1$ plus $27$

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + (1 + 27) u - 9) = 0$

Schritt 1.12.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + 1 u + 27 u - 9) = 0$

Schritt 1.12.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + u + 27 u - 9) = 0$

Schritt 1.12.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.12.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 u^{2} + u) + 27 u - 9) = 0$

Schritt 1.12.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (u (- 3 u + 1) - 9 (- 3 u + 1)) = 0$

Schritt 1.12.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 u + 1$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 u + 1) (u - 9)) = 0$

Schritt 1.13

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 x^{2} + 1) (x^{2} - 9)) = 0$

Schritt 1.14

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 x^{2} + 1) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Schritt 1.15

Faktorisiere.

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Schritt 1.15.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.15.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 x^{2} + 1) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Schritt 1.15.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Schritt 1.15.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 1.16

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$ heraus.

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Schritt 1.16.1

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2} - 1)) + 3 (- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 1.16.2

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $3 (- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2} - 1)) + (x + 3) (x - 3) (3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 1.16.3

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2} - 1)) + (x + 3) (x - 3) (3 (- 3 x^{2} + 1))$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2} - 1) + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 1.17

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 1.18

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x + 3) (x - 3) (3 x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 1.19

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (3 x \cdot x^{2} - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 1.20

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.20.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.20.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$(x + 3) (x - 3) (3 (x^{2} x) - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 1.20.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.20.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (3 (x^{2} x) - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 1.20.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{2 + 1} - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 1.20.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - 1 x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 1.20.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 1.21

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - x + 3 (- 3 x^{2}) + 3 \cdot 1) = 0$

Schritt 1.22

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - x - 9 x^{2} + 3 \cdot 1) = 0$

Schritt 1.23

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - x - 9 x^{2} + 3) = 0$

Schritt 1.24

Stelle die Terme um.

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - 9 x^{2} - x + 3) = 0$

Schritt 1.25

Faktorisiere.

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Schritt 1.25.1

Schreibe $3 x^{3} - 9 x^{2} - x + 3$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.25.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.25.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 3) (x - 3) ((3 x^{3} - 9 x^{2}) - x + 3) = 0$

Schritt 1.25.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{2} (x - 3) - (x - 3)) = 0$

Schritt 1.25.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 3$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 3) (3 x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 1.25.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 3) (x - 3) (x - 3) (3 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 1.26

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.26.1

Potenziere $x - 3$ mit $1$ .

$(x + 3) ((x - 3) (x - 3)) (3 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 1.26.2

Potenziere $x - 3$ mit $1$ .

$(x + 3) ((x - 3) (x - 3)) (3 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 1.26.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 3) {(x - 3)}^{1 + 1} (3 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 1.26.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(x + 3) {(x - 3)}^{2} (3 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

$3 x^{2} - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 4

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse ${(x - 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 5

Setze $3 x^{2} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $3 x^{2} - 1$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $3 x^{2} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 5.2.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.2.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.2.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.2.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.2.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.2.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.2.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.2.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 5.2.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) {(x - 3)}^{2} (3 x^{2} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3, \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 3, 3, \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Dezimalform:

$x = - 3, 3, 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$