Analysis Beispiele

$8 (4^{5 - x}) = 40$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (8 \cdot 4^{5 - x}) = \ln (40)$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (8 \cdot 4^{5 - x})$ als $\ln (8) + \ln (4^{5 - x})$ um.

$\ln (8) + \ln (4^{5 - x}) = \ln (40)$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (4^{5 - x})$ durch Herausziehen von $5 - x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (8) + (5 - x) \ln (4) = \ln (40)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (8) + 5 \ln (4) - x \ln (4) = \ln (40)$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Bewege $5 \ln (4)$ .

$\ln (8) - x \ln (4) + 5 \ln (4) = \ln (40)$

Schritt 4.2

Stelle $\ln (8)$ und $- x \ln (4)$ um.

$- x \ln (4) + \ln (8) + 5 \ln (4) = \ln (40)$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- x \ln (4) + \ln (8) + 5 \ln (4) - \ln (40) = 0$

Schritt 6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{8}{40}) = 0$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $40$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{8 (1)}{40}) = 0$

Schritt 7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $8$ aus $40$ heraus.

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 5}) = 0$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 5}) = 0$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- x \ln (4) + 5 \ln (4) + \ln (\frac{1}{5}) = 0$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $5 \ln (4)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x \ln (4) + \ln (\frac{1}{5}) = - 5 \ln (4)$

Schritt 8.2

Subtrahiere $\ln (\frac{1}{5})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x \ln (4) = - 5 \ln (4) - \ln (\frac{1}{5})$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $- x \ln (4) = - 5 \ln (4) - \ln (\frac{1}{5})$ durch $- \ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \ln (4) = - 5 \ln (4) - \ln (\frac{1}{5})$ durch $- \ln (4)$ .

$\frac{- x \ln (4)}{- \ln (4)} = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Schritt 9.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 9.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 5 \ln (4)}{- \ln (4)} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Schritt 9.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 5}{- 1} + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Schritt 9.3.1.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 5}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot - 5 + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Schritt 9.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot - 5$ als $- - 5$ um.

$x = - - 5 + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Schritt 9.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$x = 5 + \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{- \ln (4)}$

Schritt 9.3.1.4

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = 5 + \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (4)}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 5 + \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (4)}$

Dezimalform:

$x = 3.83903595 \dots$